Упр.13.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(5(x^4+y^4)=41(x^2+y^2), x^2+y^2+xy=13);
2) {(3xy-x^2-y^2=5, 7x^2 y^2-x^4-y^4=155).

Подробный ответ

1) Обозначим $$a=x^2+y^2,$$ $$b=xy.$$ Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} 5a^2-10b^2=41a,\\ a+b=13. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$b=13-a.$$ Подставим в первое:
$$ 5a^2-10(13-a)^2=41a; $$
$$ 5a^2-10(169-26a+a^2)=41a; $$
$$ 5a^2-1690+260a-10a^2=41a; $$
$$ 5a^2-219a+1690=0. $$
Найдём корни:
$$ D=219^2-4\cdot 5\cdot 1690=14161, $$
$$ a=\frac{219\pm 119}{10}. $$
Отсюда $$a_1=10,$$ $$a_2=33{,}8.$$ Тогда
$$ b_1=13-10=3,\qquad b_2=13-33{,}8=-20{,}8. $$
Второе значение не подходит, так как при $$a=33{,}8$$ уравнение $$x^2+\left(\frac{b}{x}\right)^2=a$$ не имеет действительных решений. Рассмотрим первое:
$$ \begin{cases} x^2+y^2=10,\\ xy=3. \end{cases} $$
Тогда
$$ x^2+\left(\frac{3}{x}\right)^2=10; $$
$$ x^4-10x^2+9=0. $$
Положим $$t=x^2.$$ Получаем
$$ t^2-10t+9=0, $$
$$ t_1=1,\qquad t_2=9. $$
Значит, $$x=\pm 1$$ или $$x=\pm 3.$$ Тогда из $$xy=3$$ получаем соответствующие значения $$y$$:
$$ (x,y)=(-1,-3),\ (1,3),\ (-3,-1),\ (3,1). $$
2) Обозначим $$a=x^2+y^2,$$ $$b=xy.$$ Тогда система имеет вид
$$ \begin{cases} 3b-a=5,\\ 9b^2-a^2=155. \end{cases} $$
Второе уравнение раскладывается на множители:
$$ (3b-a)(3b+a)=155. $$
Так как $$3b-a=5,$$ то
$$ 5(3b+a)=155, $$
$$ 3b+a=31. $$
Решаем систему
$$ \begin{cases} 3b-a=5,\\ 3b+a=31. \end{cases} $$
Складываем уравнения:
$$ 6b=36,\qquad b=6. $$
Тогда
$$ a=31-3b=31-18=13. $$
Получаем
$$ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=6. \end{cases} $$
Тогда
$$ x^2+\left(\frac{6}{x}\right)^2=13; $$
$$ x^4-13x^2+36=0. $$
Положим $$t=x^2.$$ Тогда
$$ t^2-13t+36=0, $$
$$ t_1=4,\qquad t_2=9. $$
Следовательно, $$x=\pm 2$$ или $$x=\pm 3.$$ Из условия $$xy=6$$ получаем пары:
$$ (x,y)=(-2,-3),\ (2,3),\ (-3,-2),\ (3,2). $$