Упр.13.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
1) $$\begin{cases}5(x^4+y^4)=41(x^2+y^2),\\x^2+y^2+xy=13;\end{cases}$$
2) $$\begin{cases}3xy-x^2-y^2=5,\\7x^2y^2-x^4-y^4=155.\end{cases}$$
1) Обозначим $$a=x^2+y^2,$$ $$b=xy.$$ Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} 5a^2-10b^2=41a,\\ a+b=13. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$b=13-a.$$ Подставим в первое:
$$5a^2-10(13-a)^2=41a;$$
$$5a^2-10(169-26a+a^2)=41a;$$
$$5a^2-1690+260a-10a^2=41a;$$
$$5a^2-219a+1690=0.$$
Найдём корни:
$$D=219^2-4\cdot 5\cdot 1690=14161,$$
$$a=\frac{219\pm 119}{10}.$$
Отсюда $$a_1=10,$$ $$a_2=33{,}8.$$ Тогда
$$b_1=13-10=3,\qquad b_2=13-33{,}8=-20{,}8.$$
Второе значение не подходит, так как при $$a=33{,}8$$ уравнение $$x^2+\left(\frac{b}{x}\right)^2=a$$ не имеет действительных решений. Рассмотрим первое:
$$\begin{cases} x^2+y^2=10,\\ xy=3. \end{cases}$$
Тогда
$$x^2+\left(\frac{3}{x}\right)^2=10;$$
$$x^4-10x^2+9=0.$$
Положим $$t=x^2.$$ Получаем
$$t^2-10t+9=0,$$
$$t_1=1,\qquad t_2=9.$$
Значит, $$x=\pm 1$$ или $$x=\pm 3.$$ Тогда из $$xy=3$$ получаем соответствующие значения $$y$$:
$$(x,y)=(-1,-3),\ (1,3),\ (-3,-1),\ (3,1).$$
2) Обозначим $$a=x^2+y^2,$$ $$b=xy.$$ Тогда система имеет вид
$$\begin{cases} 3b-a=5,\\ 9b^2-a^2=155. \end{cases}$$
Второе уравнение раскладывается на множители:
$$(3b-a)(3b+a)=155.$$
Так как $$3b-a=5,$$ то
$$5(3b+a)=155,$$
$$3b+a=31.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} 3b-a=5,\\ 3b+a=31. \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$6b=36,\qquad b=6.$$
Тогда
$$a=31-3b=31-18=13.$$
Получаем
$$\begin{cases} x^2+y^2=13,\\ xy=6. \end{cases}$$
Тогда
$$x^2+\left(\frac{6}{x}\right)^2=13;$$
$$x^4-13x^2+36=0.$$
Положим $$t=x^2.$$ Тогда
$$t^2-13t+36=0,$$
$$t_1=4,\qquad t_2=9.$$
Следовательно, $$x=\pm 2$$ или $$x=\pm 3.$$ Из условия $$xy=6$$ получаем пары:
$$(x,y)=(-2,-3),\ (2,3),\ (-3,-2),\ (3,2).$$
Ответ
1) $$(-1;-3),\ (1;3),\ (-3;-1),\ (3;1)$$
2) $$(-2;-3),\ (2;3),\ (-3;-2),\ (3;2)$$
