Упр.13.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
- $$\begin{cases}x^4+y^4-x^2-y^2=12,\\2x^2-xy+2y^2=8;\end{cases}$$
- $$\begin{cases}10(x^4+y^4)=-17(x^3y+xy^3),\\x^2+y^2=5.\end{cases}$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} x^4+y^4-x^2-y^2=12,\\ 2x^2-xy+2y^2=8. \end{cases}$$
Преобразуем первое уравнение:
$$(x^2+y^2)^2-2(xy)^2-(x^2+y^2)=12.$$
Обозначим $$a=x^2+y^2$$, $$b=xy$$. Тогда получаем систему
$$\begin{cases} a^2-2b^2-a=12,\\ 2a-b=8. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$b=2a-8$$. Подставим в первое:
$$a^2-2(2a-8)^2-a=12,$$
$$a^2-2(4a^2-32a+64)-a=12,$$
$$7a^2-63a+140=0,$$
$$a^2-9a+20=0.$$
Тогда
$$a_1=4,\quad a_2=5.$$
Найдём соответствующие значения $$b$$:
$$b_1=2\cdot 4-8=0,\quad b_2=2\cdot 5-8=2.$$
1) Если $$x^2+y^2=4$$ и $$xy=0$$, то
$$x=0,\ y=\pm 2;\qquad y=0,\ x=\pm 2.$$
Получаем пары:
$$(0;-2),\ (0;2),\ (-2;0),\ (2;0).$$
2) Если $$x^2+y^2=5$$ и $$xy=2$$, то
$$x^2+\left(\frac{2}{x}\right)^2=5.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-5x^2+4=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-5t+4=0,$$
$$t_1=1,\quad t_2=4.$$
Значит,
$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm 2.$$
При $$xy=2$$ получаем:
$$(1;2),\ (-1;-2),\ (2;1),\ (-2;-1).$$
Рассмотрим систему
$$\begin{cases} 10(x^4+y^4)=-17(x^3y+xy^3),\\ x^2+y^2=5. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$10(x^2+y^2)^2-20(xy)^2=-17xy(x^2+y^2).$$
Так как $$x^2+y^2=5$$, получаем
$$10\cdot 5^2-20(xy)^2=-17xy\cdot 5,$$
$$4(xy)^2-17xy-50=0.$$
Обозначим $$u=xy$$. Тогда
$$4u^2-17u-50=0.$$
$$D=17^2+4\cdot 4\cdot 50=1089,$$
$$u_1=-2,\quad u_2=\frac{25}{4}.$$
Если $$xy=-2$$, то
$$x^2+\left(\frac{-2}{x}\right)^2=5,$$
$$x^4-5x^2+4=0,$$
откуда
$$x=\pm 1,\ \pm 2.$$
Тогда
$$(1;-2),\ (-1;2),\ (2;-1),\ (-2;1).$$
Если $$xy=\frac{25}{4}$$, то
$$x^2+\left(\frac{25}{4x}\right)^2=5.$$
После умножения на $$16x^2$$ получаем
$$16x^4-80x^2+625=0.$$
Для этого уравнения дискриминант отрицателен, значит действительных решений нет.
Ответ
1) $$(0;-2),\ (0;2),\ (-2;0),\ (2;0),\ (-1;-2),\ (1;2),\ (-2;-1),\ (2;1).$$
2) $$(-1;2),\ (1;-2),\ (-2;1),\ (2;-1).$$
