Упр.13.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^4+y^4-x^2-y^2=12, 2x^2-xy+2y^2=8);
2) {(10(x^4+y^4)=-17(x^3 y+xy^3), x^2+y^2=5).

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^4+y^4-x^2-y^2=12,\\ 2x^2-xy+2y^2=8. \end{cases} $$
Преобразуем первое уравнение:
$$ (x^2+y^2)^2-2(xy)^2-(x^2+y^2)=12. $$
Обозначим $$a=x^2+y^2$$, $$b=xy$$. Тогда получаем систему
$$ \begin{cases} a^2-2b^2-a=12,\\ 2a-b=8. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$b=2a-8$$. Подставим в первое:
$$ a^2-2(2a-8)^2-a=12, $$
$$ a^2-2(4a^2-32a+64)-a=12, $$
$$ 7a^2-63a+140=0, $$
$$ a^2-9a+20=0. $$
Тогда
$$ a_1=4,\quad a_2=5. $$
Найдём соответствующие значения $$b$$:
$$ b_1=2\cdot 4-8=0,\quad b_2=2\cdot 5-8=2. $$
1) Если $$x^2+y^2=4$$ и $$xy=0$$, то
$$ x=0,\ y=\pm 2;\qquad y=0,\ x=\pm 2. $$
Получаем пары:
$$ (0;-2),\ (0;2),\ (-2;0),\ (2;0). $$
2) Если $$x^2+y^2=5$$ и $$xy=2$$, то
$$ x^2+\left(\frac{2}{x}\right)^2=5. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4-5x^2+4=0. $$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2-5t+4=0, $$
$$ t_1=1,\quad t_2=4. $$
Значит,
$$ x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm 2. $$
При $$xy=2$$ получаем:
$$ (1;2),\ (-1;-2),\ (2;1),\ (-2;-1). $$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 10(x^4+y^4)=-17(x^3y+xy^3),\\ x^2+y^2=5. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ 10(x^2+y^2)^2-20(xy)^2=-17xy(x^2+y^2). $$
Так как $$x^2+y^2=5$$, получаем
$$ 10\cdot 5^2-20(xy)^2=-17xy\cdot 5, $$
$$ 4(xy)^2-17xy-50=0. $$
Обозначим $$u=xy$$. Тогда
$$ 4u^2-17u-50=0. $$
$$ D=17^2+4\cdot 4\cdot 50=1089, $$
$$ u_1=-2,\quad u_2=\frac{25}{4}. $$
Если $$xy=-2$$, то
$$ x^2+\left(\frac{-2}{x}\right)^2=5, $$
$$ x^4-5x^2+4=0, $$
откуда
$$ x=\pm 1,\ \pm 2. $$
Тогда
$$ (1;-2),\ (-1;2),\ (2;-1),\ (-2;1). $$
Если $$xy=\frac{25}{4}$$, то
$$ x^2+\left(\frac{25}{4x}\right)^2=5. $$
После умножения на $$16x^2$$ получаем
$$ 16x^4-80x^2+625=0. $$
Для этого уравнения дискриминант отрицателен, значит действительных решений нет.