Упр.13.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2/y+y^2/x=18, x+y=12);
2) {(x^3+y^3+3x^2 y^2=5, xy-x-y=-1).

Подробный ответ

$$ \begin{cases} \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=18,\\ x+y=12 \end{cases} $$
Приведём первое уравнение к общему знаменателю:
$$ \dfrac{x^3+y^3}{xy}=18. $$
Так как $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$ то
$$ \dfrac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy}=18. $$
Подставим $$x+y=12$$:
$$ \dfrac{12(x^2-xy+y^2)}{xy}=18. $$
Используем $$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$$:
$$ \dfrac{12(12^2-3xy)}{xy}=18. $$
$$ 12(144-3xy)=18xy $$
$$ 1728-36xy=18xy $$
$$ 1728=54xy $$
$$ xy=32. $$
Тогда
$$ \begin{cases} x+y=12,\\ xy=32 \end{cases} $$
Корни уравнения $$t^2-12t+32=0$$ равны $$t=4$$ и $$t=8$$. Значит,
$$ (x,y)=(4,8),\ (8,4). $$
$$ \begin{cases} x^3+y^3+3x^2y^2=5,\\ xy-x-y=-1 \end{cases} $$
Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда из второго уравнения:
$$ b-a=-1,\quad b=a-1. $$
Первое уравнение перепишем через $$a$$ и $$b$$:
$$ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=a^3-3ab, $$
поэтому
$$ a^3-3ab+3b^2=5. $$
Подставим $$b=a-1$$:
$$ a^3-3a(a-1)+3(a-1)^2=5. $$
$$ a^3-3a^2+3a+3a^2-6a+3=5 $$
$$ a^3-3a-2=0 $$
$$ (a-2)(a+1)^2=0. $$
Отсюда $$a=2$$ или $$a=-1$$.
1) Если $$a=2$$, то $$b=1$$. Тогда
$$ \begin{cases} x+y=2,\\ xy=1 \end{cases} $$
$$ x^2-2x+1=0,\quad (x-1)^2=0, $$
значит, $$x=1$$, $$y=1$$.
2) Если $$a=-1$$, то $$b=-2$$. Тогда
$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ xy=-2 \end{cases} $$
$$ x^2+x-2=0, $$
откуда $$x=-2$$ или $$x=1$$. Соответственно получаем пары $$(-2,1)$$ и $$(1,-2)$$.