Упр.13.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\begin{cases}\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=18,\\x+y=12.\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}x^3+y^3+3x^2y^2=5,\\xy-x-y=-1.\end{cases}$$

1. $$\begin{cases} \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=18,\\ x+y=12 \end{cases}$$

   Приведём первое уравнение к общему знаменателю:

   $$\dfrac{x^3+y^3}{xy}=18.$$

   Так как $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2),$$ то

   $$\dfrac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy}=18.$$

   Подставим $$x+y=12$$:

   $$\dfrac{12(x^2-xy+y^2)}{xy}=18.$$

   Используем $$x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy$$:

   $$\dfrac{12(12^2-3xy)}{xy}=18.$$

   $$12(144-3xy)=18xy$$

   $$1728-36xy=18xy$$

   $$1728=54xy$$

   $$xy=32.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} x+y=12,\\ xy=32 \end{cases}$$

   Корни уравнения $$t^2-12t+32=0$$ равны $$t=4$$ и $$t=8$$. Значит,

   $$(x,y)=(4,8),\ (8,4).$$

2. $$\begin{cases} x^3+y^3+3x^2y^2=5,\\ xy-x-y=-1 \end{cases}$$

   Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда из второго уравнения:

   $$b-a=-1,\quad b=a-1.$$

   Первое уравнение перепишем через $$a$$ и $$b$$:

   $$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=a^3-3ab,$$

   поэтому

   $$a^3-3ab+3b^2=5.$$

   Подставим $$b=a-1$$:

   $$a^3-3a(a-1)+3(a-1)^2=5.$$

   $$a^3-3a^2+3a+3a^2-6a+3=5$$

   $$a^3-3a-2=0$$

   $$(a-2)(a+1)^2=0.$$

   Отсюда $$a=2$$ или $$a=-1$$.

   1) Если $$a=2$$, то $$b=1$$. Тогда

   $$\begin{cases} x+y=2,\\ xy=1 \end{cases}$$

   $$x^2-2x+1=0,\quad (x-1)^2=0,$$

   значит, $$x=1$$, $$y=1$$.

   2) Если $$a=-1$$, то $$b=-2$$. Тогда

   $$\begin{cases} x+y=-1,\\ xy=-2 \end{cases}$$

   $$x^2+x-2=0,$$

   откуда $$x=-2$$ или $$x=1$$. Соответственно получаем пары $$(-2,1)$$ и $$(1,-2)$$.

Ответ

1) $$(4;8),\ (8;4)$$; 2) $$(-2;1),\ (1;-2),\ (1;1)$$.