Упр.13.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {((x-y)(x^2-y^2)=16, (x+y)(x^2+y^2)=40);
2) {(x^3-3x^2 y=-4, y^3-xy^2=-1).

Подробный ответ

1)
$$\begin{cases} (x-y)(x^2-y^2)=16,\\ (x+y)(x^2+y^2)=40. \end{cases}$$
Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ то первое уравнение можно записать так:
$$ (x+y)(x-y)^2=16. $$
Обозначим
$$a=x+y,\quad b=x-y.$$
Тогда система примет вид
$$\begin{cases} ab^2=16,\\ a(a^2+b^2)=40. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$b^2=\frac{16}{a}.$$
Подставим во второе:
$$a\left(a^2+\frac{16}{a}\right)=40,$$
$$a^3+16=40,$$
$$a^3=24.$$
Удобнее воспользоваться соотношением из исходной системы:
$$\frac{(x-y)^2}{x^2+y^2}=\frac{2}{5}.$$
Тогда
$$5(x^2-2xy+y^2)=2(x^2+y^2),$$
$$3x^2-10xy+3y^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$3x^2-10yx+3y^2=0.$$
Его корни:
$$x=\frac{10y\pm\sqrt{100y^2-36y^2}}{6}=\frac{10y\pm 8y}{6}.$$
Получаем:
$$x=\frac{y}{3}\quad \text{или}\quad x=3y.$$

Первый случай: $$x=\frac{y}{3}.$$
Тогда
$$\left(\frac{y}{3}+y\right)\left(\frac{y^2}{9}+y^2\right)=40,$$
$$\frac{4y}{3}\cdot \frac{10y^2}{9}=40,$$
$$\frac{40y^3}{27}=40,$$
$$y^3=27,$$
$$y=3,\quad x=1.$$

Второй случай: $$x=3y.$$
Тогда
$$\left(3y+y\right)\left(9y^2+y^2\right)=40,$$
$$4y\cdot 10y^2=40,$$
$$40y^3=40,$$
$$y^3=1,$$
$$y=1,\quad x=3.$$
2)
$$\begin{cases} x^3-3x^2y=-4,\\ y^3-xy^2=-1. \end{cases}$$
Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$xy^2=y^3+1,$$
$$x=\frac{y^3+1}{y^2}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\left(\frac{y^3+1}{y^2}\right)^3-3\cdot \frac{y^3+1}{y^2}\cdot \left(\frac{y^3+1}{y^2}\right)^2=-4.$$
Умножим на $$y^6$$:
$$(y^3+1)^3-3y^3(y^3+1)^2=-4y^6.$$
Раскроем скобки:
$$y^9+3y^6+3y^3+1-3y^9-6y^6-3y^3=-4y^6,$$
$$-2y^9+y^6+1=0.$$
Перепишем:
$$1-y^9+y^6-y^9=0,$$
$$ (1-y^3)(1+y^3+y^6)+y^6(1-y^3)=0,$$
$$ (1-y^3)(2y^6+y^3+1)=0.$$
Так как $$2y^6+y^3+1>0$$ при любых $$y,$$ то
$$1-y^3=0,$$
$$y^3=1,$$
$$y=1.$$
Тогда
$$x=\frac{1^3+1}{1^2}=2.$$