Упр.13.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x/y+y/x=13/6, x^2+y^2=13);
2) {((x+y)/(x-y)+(x-y)/(x+y)=5/2, x^2+y^2=20);
3) {(x+y+1)^2+(x+y)^2=25, x^2-y^2=3);
4) {(v((x+y)/(x-y))+3v((x-y)/(x+y))=4, x^2+4x+y^2-3y=0).

1. $$\begin{cases} \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}=\dfrac{13}{6},\\ x^2+y^2=13 \end{cases}$$

   Из первого уравнения:
   $$\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{13}{6}.$$
   Так как $$x^2+y^2=13,$$ то
   $$\dfrac{13}{xy}=\dfrac{13}{6}, \quad xy=6.$$

   Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
   $$t^2-13t+36=0.$$
   $$D=13^2-4\cdot 36=25,$$
   $$t_{1,2}=\dfrac{13\pm 5}{2}.$$
   Значит,
   $$t_1=4,\quad t_2=9.$$

   Следовательно, $$\{x,y\}=\{2,3\}$$ или $$\{x,y\}=\{-2,-3\}.$$

2. $$\begin{cases} \dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{5}{2},\\ x^2+y^2=20 \end{cases}$$

   Преобразуем первое уравнение:
   $$\dfrac{(x+y)^2+(x-y)^2}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{5}{2}.$$
   Тогда
   $$\dfrac{2(x^2+y^2)}{x^2-y^2}=\dfrac{5}{2}.$$
   Подставим $$x^2+y^2=20$$:
   $$\dfrac{40}{x^2-y^2}=\dfrac{5}{2},$$
   $$x^2-y^2=16.$$

   Из системы
   $$\begin{cases} x^2+y^2=20,\\ x^2-y^2=16 \end{cases}$$
   получаем:
   $$2x^2=36,\quad x^2=18,$$
   $$2y^2=4,\quad y^2=2.$$
   Значит,
   $$x=\pm 3\sqrt{2},\quad y=\pm \sqrt{2}.$$

3. $$\begin{cases} (x+y+1)^2+(x+y)^2=25,\\ x^2-y^2=3 \end{cases}$$

   Обозначим $$t=x+y.$$ Тогда
   $$ (t+1)^2+t^2=25,$$
   $$2t^2+2t-24=0,$$
   $$t^2+t-12=0,$$
   $$t_1=-4,\quad t_2=3.$$

   1) Если $$x+y=-4,$$ то из $$x^2-y^2=(x-y)(x+y)=3$$ получаем
   $$-4(x-y)=3,$$
   $$x-y=-\dfrac{3}{4}.$$
   Решая систему
   $$\begin{cases} x+y=-4,\\ x-y=-\dfrac{3}{4} \end{cases}$$
   находим
   $$x=-\dfrac{19}{8},\quad y=-\dfrac{13}{8}.$$

   2) Если $$x+y=3,$$ то
   $$3(x-y)=3,$$
   $$x-y=1.$$
   Тогда
   $$\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=1 \end{cases}$$
   откуда
   $$x=2,\quad y=1.$$

4. $$\begin{cases} \sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}+3\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}}=4,\\ x^2+4x+y^2-3y=0 \end{cases}$$

   Обозначим
   $$t=\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}.$$
   Тогда
   $$\sqrt{\dfrac{x-y}{x+y}}=\dfrac{1}{t},$$
   и первое уравнение принимает вид
   $$t+\dfrac{3}{t}=4.$$
   Умножим на $$t$$:
   $$t^2-4t+3=0,$$
   $$t_1=1,\quad t_2=3.$$

   1) Если $$t=1,$$ то
   $$\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=1 \Rightarrow x+y=x-y \Rightarrow y=0.$$
   Тогда из второго уравнения:
   $$x^2+4x=0,$$
   $$x(x+4)=0,$$
   $$x=0 \text{ или } x=-4.$$
   Но при $$x=0,\ y=0$$ выражения под корнями не определены, поэтому подходит только
   $$(-4;\,0).$$

   2) Если $$t=3,$$ то
   $$\sqrt{\dfrac{x+y}{x-y}}=3 \Rightarrow \dfrac{x+y}{x-y}=9.$$
   Тогда
   $$x+y=9(x-y),$$
   $$10y=8x,$$
   $$y=\dfrac{4x}{5}.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$x^2+4x+\left(\dfrac{4x}{5}\right)^2-3\cdot \dfrac{4x}{5}=0,$$
   $$25x^2+100x+16x^2-60x=0,$$
   $$41x^2+40x=0,$$
   $$x(41x+40)=0.$$
   Значит,
   $$x=0 \text{ или } x=-\dfrac{40}{41}.$$
   При $$x=0$$ получаем $$y=0,$$ что не подходит. Тогда
   $$y=\dfrac{4}{5}\cdot \left(-\dfrac{40}{41}\right)=-\dfrac{32}{41}.$$

Ответ

1) $$(-2;\,-3),\ (2;\,3),\ (-3;\,-2),\ (3;\,2)$$
2) $$(-3\sqrt{2};\,-\sqrt{2}),\ (-3\sqrt{2};\,\sqrt{2}),\ (3\sqrt{2};\,-\sqrt{2}),\ (3\sqrt{2};\,\sqrt{2})$$
3) $$\left(-\dfrac{19}{8};\,-\dfrac{13}{8}\right),\ (2;\,1)$$
4) $$(-4;\,0),\ \left(-\dfrac{40}{41};\,-\dfrac{32}{41}\right)$$