Упр.13.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2 y+y^2 x=20, 1/x+1/y=5/4);
2) {(x^2/y+y^2/x=12, 1/x+1/y=1/3);
3) {(x^3+x^3 y^3+y^3=12, x+xy+y=0);
4) {(x^3+y^3=19, (xy+8)(x+y)=2).

Подробный ответ

Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда система
$$ \begin{cases} x^2y+y^2x=20,\\ \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac54 \end{cases} $$
преобразуется к виду
$$ \begin{cases} ab=20,\\ \dfrac{a}{b}=\dfrac54 \end{cases} $$
Отсюда $$a^2=25,$$ значит $$a=5$$ или $$a=-5.$$
Если $$a=5,$$ то $$b=4.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=4 \end{cases} \Rightarrow x^2-5x+4=0 $$
$$x=1,\ 4,$$ значит пары $$ (1;4) $$ и $$ (4;1). $$
Если $$a=-5,$$ то $$b=-4.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y=-5,\\ xy=-4 \end{cases} \Rightarrow x^2+5x-4=0 $$
$$ x=\dfrac{-5\pm\sqrt{41}}{2},\qquad y=\dfrac{-5\mp\sqrt{41}}{2}. $$
Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда
$$ \begin{cases} \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=12,\\ \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{xy}=12,\\ \dfrac{x+y}{xy}=\dfrac13 \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ \dfrac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy}=12 \Rightarrow \dfrac{(x+y)\big((x+y)^2-3xy\big)}{xy}=12. $$
Тогда
$$ \begin{cases} a^2-3b=36,\\ \dfrac{a}{b}=\dfrac13 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$b=3a.$$ Подставим:
$$ a^2-9a-36=0 $$
$$ a_1=-3,\quad a_2=12. $$
1) Если $$a=-3,$$ то $$b=-9.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y=-3,\\ xy=-9 \end{cases} \Rightarrow x^2+3x-9=0 $$
$$ x=\dfrac{-3\pm3\sqrt5}{2},\qquad y=\dfrac{-3\mp3\sqrt5}{2}. $$
2) Если $$a=12,$$ то $$b=36.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y=12,\\ xy=36 \end{cases} \Rightarrow (x-6)^2=0 $$
$$x=y=6.$$
Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x^3+x^3y^3+y^3=12,\\ x+xy+y=0 \end{cases} $$
преобразуется к виду
$$ \begin{cases} (x+y)\big((x+y)^2-3xy\big)+(xy)^3=12,\\ (x+y)+xy=0 \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} a(a^2-3b)+b^3=12,\\ a+b=0 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$a=-b.$$ Подставим в первое:
$$ -b(b^2-3b)+b^3=12 $$
$$ 3b^2=12,\qquad b^2=4,\qquad b=\pm2. $$
Если $$b=2,$$ то $$a=-2.$$ Получаем
$$ \begin{cases} x+y=-2,\\ xy=2 \end{cases} $$
Уравнение $$x^2+2x+2=0$$ не имеет действительных корней.
Если $$b=-2,$$ то $$a=2.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x+y=2,\\ xy=-2 \end{cases} \Rightarrow x^2-2x-2=0 $$
$$ x=1\pm\sqrt3,\qquad y=1\mp\sqrt3. $$
Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда
$$ \begin{cases} x^3+y^3=19,\\ (xy+8)(x+y)=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x+y)\big((x+y)^2-3xy\big)=19,\\ (xy+8)(x+y)=2 \end{cases} $$
То есть
$$ \begin{cases} a(a^2-3b)=19,\\ (b+8)a=2 \end{cases} $$
Из второго уравнения $$ab+8a=2.$$ Подставим $$b=\dfrac{2}{a}-8$$ в первое:
$$ a^3-3a\left(\dfrac{2}{a}-8\right)=19 $$
$$ a^3-6+24a=19 $$
$$ a^3+24a-25=0 $$
$$ (a-1)(a^2+a+25)=0 $$
Отсюда $$a=1.$$ Тогда
$$ 1\cdot b+8\cdot1=2 \Rightarrow b=-6. $$
Получаем систему
$$ \begin{cases} x+y=1,\\ xy=-6 \end{cases} \Rightarrow x^2-x-6=0 $$
$$x=-2,\ 3,$$ значит пары $$(-2;3)$$ и $$(3;-2).$$