Упр.13.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases}x^2y+y^2x=20,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{4};\end{cases}$$
$$\begin{cases}\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}=12,\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{3};\end{cases}$$
$$\begin{cases}x^3+x^3y^3+y^3=12,\\ x+xy+y=0;\end{cases}$$
$$\begin{cases}x^3+y^3=19,\\ (xy+8)(x+y)=2.\end{cases}$$

Подробный ответ

Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда система
$$\begin{cases} x^2y+y^2x=20,\\ \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac54 \end{cases}$$
преобразуется к виду
$$\begin{cases} ab=20,\\ \dfrac{a}{b}=\dfrac54 \end{cases}$$
Отсюда $$a^2=25,$$ значит $$a=5$$ или $$a=-5.$$
Если $$a=5,$$ то $$b=4.$$ Тогда
$$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=4 \end{cases} \Rightarrow x^2-5x+4=0$$
$$x=1,\ 4,$$ значит пары $$(1;4)$$ и $$(4;1).$$
Если $$a=-5,$$ то $$b=-4.$$ Тогда
$$\begin{cases} x+y=-5,\\ xy=-4 \end{cases} \Rightarrow x^2+5x-4=0$$
$$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{41}}{2},\qquad y=\dfrac{-5\mp\sqrt{41}}{2}.$$
Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда
$$\begin{cases} \dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{x}=12,\\ \dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{xy}=12,\\ \dfrac{x+y}{xy}=\dfrac13 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\dfrac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{xy}=12 \Rightarrow \dfrac{(x+y)\big((x+y)^2-3xy\big)}{xy}=12.$$
Тогда
$$\begin{cases} a^2-3b=36,\\ \dfrac{a}{b}=\dfrac13 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$b=3a.$$ Подставим:
$$a^2-9a-36=0$$
$$a_1=-3,\quad a_2=12.$$
1) Если $$a=-3,$$ то $$b=-9.$$ Тогда
$$\begin{cases} x+y=-3,\\ xy=-9 \end{cases} \Rightarrow x^2+3x-9=0$$
$$x=\dfrac{-3\pm3\sqrt5}{2},\qquad y=\dfrac{-3\mp3\sqrt5}{2}.$$
2) Если $$a=12,$$ то $$b=36.$$ Тогда
$$\begin{cases} x+y=12,\\ xy=36 \end{cases} \Rightarrow (x-6)^2=0$$
$$x=y=6.$$
Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда
$$\begin{cases} x^3+x^3y^3+y^3=12,\\ x+xy+y=0 \end{cases}$$
преобразуется к виду
$$\begin{cases} (x+y)\big((x+y)^2-3xy\big)+(xy)^3=12,\\ (x+y)+xy=0 \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} a(a^2-3b)+b^3=12,\\ a+b=0 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$a=-b.$$ Подставим в первое:
$$-b(b^2-3b)+b^3=12$$
$$3b^2=12,\qquad b^2=4,\qquad b=\pm2.$$
Если $$b=2,$$ то $$a=-2.$$ Получаем
$$\begin{cases} x+y=-2,\\ xy=2 \end{cases}$$
Уравнение $$x^2+2x+2=0$$ не имеет действительных корней.
Если $$b=-2,$$ то $$a=2.$$ Тогда
$$\begin{cases} x+y=2,\\ xy=-2 \end{cases} \Rightarrow x^2-2x-2=0$$
$$x=1\pm\sqrt3,\qquad y=1\mp\sqrt3.$$
Положим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда
$$\begin{cases} x^3+y^3=19,\\ (xy+8)(x+y)=2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x+y)\big((x+y)^2-3xy\big)=19,\\ (xy+8)(x+y)=2 \end{cases}$$
То есть
$$\begin{cases} a(a^2-3b)=19,\\ (b+8)a=2 \end{cases}$$
Из второго уравнения $$ab+8a=2.$$ Подставим $$b=\dfrac{2}{a}-8$$ в первое:
$$a^3-3a\left(\dfrac{2}{a}-8\right)=19$$
$$a^3-6+24a=19$$
$$a^3+24a-25=0$$
$$(a-1)(a^2+a+25)=0$$
Отсюда $$a=1.$$ Тогда
$$1\cdot b+8\cdot1=2 \Rightarrow b=-6.$$
Получаем систему
$$\begin{cases} x+y=1,\\ xy=-6 \end{cases} \Rightarrow x^2-x-6=0$$
$$x=-2,\ 3,$$ значит пары $$(-2;3)$$ и $$(3;-2).$$