Упр.13.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {((x-1)(y-1)=1, x^2 y+xy^2=16);
2) {((x^2+1)(y^2+1)=10, (x+y)(xy-1)=3).

Подробный ответ

1) Обозначим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда

$$ (x-1)(y-1)=1 \;\Rightarrow\; xy-(x+y)+1=1 \;\Rightarrow\; b-a=0, $$
$$ x^2y+xy^2=xy(x+y)=16 \;\Rightarrow\; ab=16. $$

Получаем систему

$$ \begin{cases} b-a=0,\\ ab=16. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$b=a$$, значит $$a^2=16$$, откуда $$a=\pm 4$$.

Если $$a=4$$, то

$$ \begin{cases} x+y=4,\\ xy=4. \end{cases} $$
Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$ t^2-4t+4=0, $$
откуда $$t=2$$. Следовательно, $$x=2,\ y=2$$.

Если $$a=-4$$, то

$$ \begin{cases} x+y=-4,\\ xy=-4. \end{cases} $$
Тогда
$$ t^2+4t-4=0. $$
Дискриминант:
$$ D=4^2-4\cdot 1\cdot(-4)=32. $$
Тогда
$$ t=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{2}=-2\pm 2\sqrt2. $$
Значит,
$$ (x,y)=(-2-2\sqrt2,\,-2+2\sqrt2) $$
или
$$ (x,y)=(-2+2\sqrt2,\,-2-2\sqrt2). $$

2) Обозначим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда

$$ (x^2+1)(y^2+1)=10 \;\Rightarrow\; x^2y^2+x^2+y^2+1=10, $$
то есть
$$ b^2+(a^2-2b)+1=10 \;\Rightarrow\; a^2+b^2-2b=9. $$

Из второго уравнения

$$ (x+y)(xy-1)=3 \;\Rightarrow\; a(b-1)=3. $$

Получаем систему

$$ \begin{cases} a^2+b^2-2b=9,\\ a(b-1)=3. \end{cases} $$

Подставим $$a=\dfrac{3}{b-1}$$:

$$ \left(\frac{3}{b-1}\right)^2+b^2-2b=9. $$
Умножим на $$ (b-1)^2 $$:
$$ 9+b^2(b-1)^2-2b(b-1)^2=9(b-1)^2. $$
После преобразований получаем
$$ (b^2-4)(b-4)=0. $$
Отсюда
$$ b=-2,\ 2,\ 4. $$

Найдём соответствующие значения $$a$$:

$$ b=-2 \Rightarrow a=-1,\qquad b=2 \Rightarrow a=3,\qquad b=4 \Rightarrow a=1. $$

Если $$a=-1,\ b=-2$$, то

$$ \begin{cases} x+y=-1,\\ xy=-2. \end{cases} $$
Тогда
$$ t^2+t-2=0, $$
откуда $$t=-2$$ или $$t=1$$. Получаем пары
$$ (-2,1),\ (1,-2). $$

Если $$a=3,\ b=2$$, то

$$ \begin{cases} x+y=3,\\ xy=2. \end{cases} $$
Тогда
$$ t^2-3t+2=0, $$
откуда $$t=1$$ или $$t=2$$. Получаем пары
$$ (1,2),\ (2,1). $$

Если $$a=1,\ b=4$$, то

$$ \begin{cases} x+y=1,\\ xy=4. \end{cases} $$
Тогда
$$ t^2-t+4=0, $$
а
$$ D=1-16=-15<0. $$
Реальных решений нет.