Упр.13.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:
1. $$\begin{cases}(x-1)(y-1)=1,\\x^2y+xy^2=16;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}(x^2+1)(y^2+1)=10,\\(x+y)(xy-1)=3.\end{cases}$$

Подробный ответ

1) Обозначим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда

$$(x-1)(y-1)=1 \;\Rightarrow\; xy-(x+y)+1=1 \;\Rightarrow\; b-a=0,$$
$$x^2y+xy^2=xy(x+y)=16 \;\Rightarrow\; ab=16.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} b-a=0,\\ ab=16. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=a$$, значит $$a^2=16$$, откуда $$a=\pm 4$$.

Если $$a=4$$, то

$$\begin{cases} x+y=4,\\ xy=4. \end{cases}$$
Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-4t+4=0,$$
откуда $$t=2$$. Следовательно, $$x=2,\ y=2$$.

Если $$a=-4$$, то

$$\begin{cases} x+y=-4,\\ xy=-4. \end{cases}$$
Тогда
$$t^2+4t-4=0.$$
Дискриминант:
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-4)=32.$$
Тогда
$$t=\frac{-4\pm\sqrt{32}}{2}=-2\pm 2\sqrt2.$$
Значит,
$$(x,y)=(-2-2\sqrt2,\,-2+2\sqrt2)$$
или
$$(x,y)=(-2+2\sqrt2,\,-2-2\sqrt2).$$

2) Обозначим $$a=x+y,\quad b=xy.$$ Тогда

$$(x^2+1)(y^2+1)=10 \;\Rightarrow\; x^2y^2+x^2+y^2+1=10,$$
то есть
$$b^2+(a^2-2b)+1=10 \;\Rightarrow\; a^2+b^2-2b=9.$$

Из второго уравнения

$$(x+y)(xy-1)=3 \;\Rightarrow\; a(b-1)=3.$$

Получаем систему

$$\begin{cases} a^2+b^2-2b=9,\\ a(b-1)=3. \end{cases}$$

Подставим $$a=\dfrac{3}{b-1}$$:

$$\left(\frac{3}{b-1}\right)^2+b^2-2b=9.$$
Умножим на $$(b-1)^2$$:
$$9+b^2(b-1)^2-2b(b-1)^2=9(b-1)^2.$$
После преобразований получаем
$$(b^2-4)(b-4)=0.$$
Отсюда
$$b=-2,\ 2,\ 4.$$

Найдём соответствующие значения $$a$$:

$$b=-2 \Rightarrow a=-1,\qquad b=2 \Rightarrow a=3,\qquad b=4 \Rightarrow a=1.$$

Если $$a=-1,\ b=-2$$, то

$$\begin{cases} x+y=-1,\\ xy=-2. \end{cases}$$
Тогда
$$t^2+t-2=0,$$
откуда $$t=-2$$ или $$t=1$$. Получаем пары
$$(-2,1),\ (1,-2).$$

Если $$a=3,\ b=2$$, то

$$\begin{cases} x+y=3,\\ xy=2. \end{cases}$$
Тогда
$$t^2-3t+2=0,$$
откуда $$t=1$$ или $$t=2$$. Получаем пары
$$(1,2),\ (2,1).$$

Если $$a=1,\ b=4$$, то

$$\begin{cases} x+y=1,\\ xy=4. \end{cases}$$
Тогда
$$t^2-t+4=0,$$
а
$$D=1-16=-15<0.$$
Реальных решений нет.