Упр.13.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases}xy(x-1)(y-1)=72,\\(x+1)(y+1)=20;\end{cases}$$
$$\begin{cases}(x+1)(y+1)=10,\\(x+y)(xy+1)=25.\end{cases}$$

Подробный ответ

1) Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} b(b-a+1)=72,\\ a+b=19. \end{cases}$$
Из второго уравнения $$a=19-b$$. Подставим в первое:
$$b\bigl(b-(19-b)+1\bigr)=72$$
$$b(2b-18)=72$$
$$2b^2-18b-72=0$$
$$b^2-9b-36=0$$
$$D=9^2+4\cdot 36=225$$
$$b_1=\frac{9-15}{2}=-3,\qquad b_2=\frac{9+15}{2}=12$$
Тогда
$$a_1=19-(-3)=22,\qquad a_2=19-12=7$$
Получаем два случая.
1-й случай:
$$\begin{cases} x+y=22,\\ xy=-3. \end{cases}$$
Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$t^2-22t-3=0$$
$$D=22^2+4\cdot 3=496=16\cdot 31$$
$$t=\frac{22\pm \sqrt{496}}{2}=11\pm 2\sqrt{31}$$
Значит,
$$(x;y)=(11-2\sqrt{31};\,11+2\sqrt{31})$$
или
$$(x;y)=(11+2\sqrt{31};\,11-2\sqrt{31})$$
2-й случай:
$$\begin{cases} x+y=7,\\ xy=12. \end{cases}$$
Тогда
$$t^2-7t+12=0$$
$$D=49-48=1$$
$$t_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad t_2=\frac{7+1}{2}=4$$
Следовательно,
$$(x;y)=(3;4)\quad \text{или}\quad (4;3)$$
2) Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда
$$\begin{cases} a+b=9,\\ a(b+1)=25. \end{cases}$$
Из первого уравнения $$b=9-a$$. Подставим во второе:
$$a(9-a+1)=25$$
$$a(10-a)=25$$
$$a^2-10a+25=0$$
$$(a-5)^2=0$$
$$a=5,\qquad b=9-5=4$$
Тогда
$$\begin{cases} x+y=5,\\ xy=4. \end{cases}$$
Корни уравнения
$$t^2-5t+4=0$$
равны $$t_1=1$$ и $$t_2=4$$. Значит,
$$(x;y)=(1;4)\quad \text{или}\quad (4;1)$$