Упр.13.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(xy(x-1)(y-1)=72, (x+1)(y+1)=20);
2) {((x+1)(y+1)=10, (x+y)(xy+1)=25).

Подробный ответ

1) Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда система принимает вид
$$ \begin{cases} b(b-a+1)=72,\\ a+b=19. \end{cases} $$
Из второго уравнения $$a=19-b$$. Подставим в первое:
$$ b\bigl(b-(19-b)+1\bigr)=72 $$
$$ b(2b-18)=72 $$
$$ 2b^2-18b-72=0 $$
$$ b^2-9b-36=0 $$
$$ D=9^2+4\cdot 36=225 $$
$$ b_1=\frac{9-15}{2}=-3,\qquad b_2=\frac{9+15}{2}=12 $$
Тогда
$$ a_1=19-(-3)=22,\qquad a_2=19-12=7 $$
Получаем два случая.
1-й случай:
$$ \begin{cases} x+y=22,\\ xy=-3. \end{cases} $$
Тогда $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$ t^2-22t-3=0 $$
$$ D=22^2+4\cdot 3=496=16\cdot 31 $$
$$ t=\frac{22\pm \sqrt{496}}{2}=11\pm 2\sqrt{31} $$
Значит,
$$ (x;y)=(11-2\sqrt{31};\,11+2\sqrt{31}) $$
или
$$ (x;y)=(11+2\sqrt{31};\,11-2\sqrt{31}) $$
2-й случай:
$$ \begin{cases} x+y=7,\\ xy=12. \end{cases} $$
Тогда
$$ t^2-7t+12=0 $$
$$ D=49-48=1 $$
$$ t_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad t_2=\frac{7+1}{2}=4 $$
Следовательно,
$$ (x;y)=(3;4)\quad \text{или}\quad (4;3) $$
2) Обозначим $$a=x+y$$, $$b=xy$$. Тогда
$$ \begin{cases} a+b=9,\\ a(b+1)=25. \end{cases} $$
Из первого уравнения $$b=9-a$$. Подставим во второе:
$$ a(9-a+1)=25 $$
$$ a(10-a)=25 $$
$$ a^2-10a+25=0 $$
$$ (a-5)^2=0 $$
$$ a=5,\qquad b=9-5=4 $$
Тогда
$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=4. \end{cases} $$
Корни уравнения
$$ t^2-5t+4=0 $$
равны $$t_1=1$$ и $$t_2=4$$. Значит,
$$ (x;y)=(1;4)\quad \text{или}\quad (4;1) $$