Упр.13.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=17,\\ x+xy+y=9; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} x^2+y^2-x-y=18,\\ x^2+y^2-xy=13. \end{cases}$$

1. Решим первую систему:

   $$\begin{cases} x^2+y^2=17,\\ x+xy+y=9. \end{cases}$$

   Умножим второе уравнение на $$2$$:

   $$2x+2xy+2y=18.$$

   Сложим его с первым уравнением, записанным в виде $$x^2+2xy+y^2=17+2xy$$:

   $$(x+y)^2+2(x+y)-35=0.$$

   Обозначим $$t=x+y$$. Тогда

   $$t^2+2t-35=0,$$
   $$D=2^2+4\cdot 35=144.$$

   $$t_1=\frac{-2-12}{2}=-7,\qquad t_2=\frac{-2+12}{2}=5.$$

   1) Если $$x+y=-7$$, то $$y=-7-x$$. Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+(-7-x)^2=17,$$
   $$2x^2+14x+32=0,$$
   $$x^2+7x+16=0.$$

   $$D=7^2-4\cdot 16=49-64=-15<0,$$ значит, решений нет.

   2) Если $$x+y=5$$, то $$y=5-x$$. Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+(5-x)^2=17,$$
   $$2x^2-10x+8=0,$$
   $$x^2-5x+4=0.$$

   $$D=25-16=9,$$
   $$x_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+3}{2}=4.$$

   Тогда

   $$y_1=5-1=4,\qquad y_2=5-4=1.$$

2. Решим вторую систему:

   $$\begin{cases} x^2+y^2-x-y=18,\\ x^2+y^2-xy=13. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:

   $$\begin{cases} 3x^2+3y^2-3x-3y=54,\\ 2x^2+2y^2-2xy=26. \end{cases}$$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$x^2+y^2-3x-3y+2xy=28.$$

   Удобно перейти к сумме $$t=x+y$$. Тогда $$x^2+y^2=t^2-2xy$$, и из второго уравнения имеем

   $$t^2-3t=28,$$
   $$t^2-3t-28=0.$$

   $$D=3^2+4\cdot 28=121,$$
   $$t_1=\frac{3-11}{2}=-4,\qquad t_2=\frac{3+11}{2}=7.$$

   1) Если $$x+y=-4$$, то $$y=-4-x$$. Подставим во второе уравнение:

   $$x^2+(-4-x)^2-x(-4-x)=13,$$
   $$3x^2+12x+3=0,$$
   $$x^2+4x+1=0.$$

   $$D=16-4=12,$$
   $$x=\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}=-2\pm \sqrt{3}.$$

   Тогда

   $$y=-4-(-2\pm \sqrt{3})=-2\mp \sqrt{3}.$$

   Получаем пары:

   $$(-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}),\qquad (-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}).$$

   2) Если $$x+y=7$$, то $$y=7-x$$. Подставим во второе уравнение:

   $$x^2+(7-x)^2-x(7-x)=13,$$
   $$3x^2-21x+36=0,$$
   $$x^2-7x+12=0.$$

   $$D=49-48=1,$$
   $$x_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{7+1}{2}=4.$$

   Тогда

   $$y_1=7-3=4,\qquad y_2=7-4=3.$$

Ответ

1) $$(1;4),\ (4;1).$$
2) $$(-2-\sqrt{3};-2+\sqrt{3}),\ (-2+\sqrt{3};-2-\sqrt{3}),\ (3;4),\ (4;3).$$