Упр.13.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2+y^2=17, x+xy+y=9);
2) {(x^2+y^2-x-y=18, x^2+y^2-xy=13).

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$ \begin{cases} x^2+y^2=17,\\ x+xy+y=9. \end{cases} $$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$ 2x+2xy+2y=18. $$
Сложим его с первым уравнением, записанным в виде $$x^2+2xy+y^2=17+2xy$$:
$$ (x+y)^2+2(x+y)-35=0. $$
Обозначим $$t=x+y$$. Тогда
$$ t^2+2t-35=0, $$
$$ D=2^2+4\cdot 35=144. $$
$$ t_1=\frac{-2-12}{2}=-7,\qquad t_2=\frac{-2+12}{2}=5. $$
1) Если $$x+y=-7$$, то $$y=-7-x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ x^2+(-7-x)^2=17, $$
$$ 2x^2+14x+32=0, $$
$$ x^2+7x+16=0. $$
$$ D=7^2-4\cdot 16=49-64=-15<0, $$ значит, решений нет.
2) Если $$x+y=5$$, то $$y=5-x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ x^2+(5-x)^2=17, $$
$$ 2x^2-10x+8=0, $$
$$ x^2-5x+4=0. $$
$$ D=25-16=9, $$
$$ x_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad x_2=\frac{5+3}{2}=4. $$
Тогда
$$ y_1=5-1=4,\qquad y_2=5-4=1. $$
Решим вторую систему:
$$ \begin{cases} x^2+y^2-x-y=18,\\ x^2+y^2-xy=13. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$2$$:
$$ \begin{cases} 3x^2+3y^2-3x-3y=54,\\ 2x^2+2y^2-2xy=26. \end{cases} $$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$ x^2+y^2-3x-3y+2xy=28. $$
Удобно перейти к сумме $$t=x+y$$. Тогда $$x^2+y^2=t^2-2xy$$, и из второго уравнения имеем
$$ t^2-3t=28, $$
$$ t^2-3t-28=0. $$
$$ D=3^2+4\cdot 28=121, $$
$$ t_1=\frac{3-11}{2}=-4,\qquad t_2=\frac{3+11}{2}=7. $$
1) Если $$x+y=-4$$, то $$y=-4-x$$. Подставим во второе уравнение:
$$ x^2+(-4-x)^2-x(-4-x)=13, $$
$$ 3x^2+12x+3=0, $$
$$ x^2+4x+1=0. $$
$$ D=16-4=12, $$
$$ x=\frac{-4\pm \sqrt{12}}{2}=-2\pm \sqrt{3}. $$
Тогда
$$ y=-4-(-2\pm \sqrt{3})=-2\mp \sqrt{3}. $$
Получаем пары:
$$ (-2-\sqrt{3},-2+\sqrt{3}),\qquad (-2+\sqrt{3},-2-\sqrt{3}). $$
2) Если $$x+y=7$$, то $$y=7-x$$. Подставим во второе уравнение:
$$ x^2+(7-x)^2-x(7-x)=13, $$
$$ 3x^2-21x+36=0, $$
$$ x^2-7x+12=0. $$
$$ D=49-48=1, $$
$$ x_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad x_2=\frac{7+1}{2}=4. $$
Тогда
$$ y_1=7-3=4,\qquad y_2=7-4=3. $$