Упр.13.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x+y+xy=5, x^2+y^2+xy=7);
2) {(xy+2x+2y=5, x^2+y^2+3x+3y=8).

Подробный ответ

Решим систему
$$ \begin{cases} x+y+xy=5,\\ x^2+y^2+xy=7. \end{cases} $$
Обозначим $$s=x+y$$. Тогда $$xy=5-s$$, а второе уравнение перепишем так:
$$ x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy=7. $$
Подставим $$xy=5-s$$:
$$ s^2-(5-s)=7, $$
$$ s^2+s-12=0. $$
$$ D=1+48=49, $$
$$ s_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad s_2=\frac{-1+7}{2}=3. $$
1) Если $$x+y=-4$$, то $$y=-4-x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ x+(-4-x)+x(-4-x)=5, $$
$$ -4-4x-x^2=5, $$
$$ x^2+4x+9=0. $$
$$ D=16-36=-20<0, $$
действительных решений нет.
2) Если $$x+y=3$$, то $$y=3-x$$. Тогда
$$ x+(3-x)+x(3-x)=5, $$
$$ 3+3x-x^2=5, $$
$$ x^2-3x+2=0, $$
$$ (x-1)(x-2)=0. $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=2$$.
Если $$x=1$$, то $$y=2$$. Если $$x=2$$, то $$y=1$$.
Решим систему
$$ \begin{cases} xy+2x+2y=5,\\ x^2+y^2+3x+3y=8. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$ 2xy+4x+4y=10. $$
Второе уравнение перепишем через $$x+y$$:
$$ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy, $$
поэтому
$$ (x+y)^2-2xy+3x+3y=8. $$
Сложим удобным образом, используя $$s=x+y$$. Из первого уравнения:
$$ xy+2(x+y)=5 \quad \Rightarrow \quad xy+2s=5. $$
Из второго:
$$ s^2-2xy+3s=8. $$
Подставим $$xy=5-2s$$:
$$ s^2-2(5-2s)+3s=8, $$
$$ s^2+7s-18=0. $$
$$ D=49+72=121, $$
$$ s_1=\frac{-7-11}{2}=-9,\qquad s_2=\frac{-7+11}{2}=2. $$
1) Если $$x+y=-9$$, то $$y=-9-x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ x(-9-x)+2x+2(-9-x)=5, $$
$$ -9x-x^2+2x-18-2x=5, $$
$$ x^2+9x+23=0. $$
$$ D=81-92=-11<0, $$
действительных решений нет.
2) Если $$x+y=2$$, то $$y=2-x$$. Тогда
$$ x(2-x)+2x+2(2-x)=5, $$
$$ 2x-x^2+2x+4-2x=5, $$
$$ x^2-2x+1=0, $$
$$ (x-1)^2=0. $$
Следовательно, $$x=1$$, $$y=1$$.