Упр.13.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}x+y+xy=5,\\x^2+y^2+xy=7;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}xy+2x+2y=5,\\x^2+y^2+3x+3y=8.\end{cases}$$

1. Решим систему

   $$\begin{cases} x+y+xy=5,\\ x^2+y^2+xy=7. \end{cases}$$

   Обозначим $$s=x+y$$. Тогда $$xy=5-s$$, а второе уравнение перепишем так:

   $$x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy=7.$$

   Подставим $$xy=5-s$$:

   $$s^2-(5-s)=7,$$

   $$s^2+s-12=0.$$

   $$D=1+48=49,$$

   $$s_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\qquad s_2=\frac{-1+7}{2}=3.$$

   1) Если $$x+y=-4$$, то $$y=-4-x$$. Подставим в первое уравнение:

   $$x+(-4-x)+x(-4-x)=5,$$

   $$-4-4x-x^2=5,$$

   $$x^2+4x+9=0.$$

   $$D=16-36=-20<0,$$

   действительных решений нет.

   2) Если $$x+y=3$$, то $$y=3-x$$. Тогда

   $$x+(3-x)+x(3-x)=5,$$

   $$3+3x-x^2=5,$$

   $$x^2-3x+2=0,$$

   $$(x-1)(x-2)=0.$$

   Отсюда $$x=1$$ или $$x=2$$.

   Если $$x=1$$, то $$y=2$$. Если $$x=2$$, то $$y=1$$.

2. Решим систему

   $$\begin{cases} xy+2x+2y=5,\\ x^2+y^2+3x+3y=8. \end{cases}$$

   Умножим первое уравнение на $$2$$:

   $$2xy+4x+4y=10.$$

   Второе уравнение перепишем через $$x+y$$:

   $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy,$$

   поэтому

   $$(x+y)^2-2xy+3x+3y=8.$$

   Сложим удобным образом, используя $$s=x+y$$. Из первого уравнения:

   $$xy+2(x+y)=5 \quad \Rightarrow \quad xy+2s=5.$$

   Из второго:

   $$s^2-2xy+3s=8.$$

   Подставим $$xy=5-2s$$:

   $$s^2-2(5-2s)+3s=8,$$

   $$s^2+7s-18=0.$$

   $$D=49+72=121,$$

   $$s_1=\frac{-7-11}{2}=-9,\qquad s_2=\frac{-7+11}{2}=2.$$

   1) Если $$x+y=-9$$, то $$y=-9-x$$. Подставим в первое уравнение:

   $$x(-9-x)+2x+2(-9-x)=5,$$

   $$-9x-x^2+2x-18-2x=5,$$

   $$x^2+9x+23=0.$$

   $$D=81-92=-11<0,$$

   действительных решений нет.

   2) Если $$x+y=2$$, то $$y=2-x$$. Тогда

   $$x(2-x)+2x+2(2-x)=5,$$

   $$2x-x^2+2x+4-2x=5,$$

   $$x^2-2x+1=0,$$

   $$(x-1)^2=0.$$

   Следовательно, $$x=1$$, $$y=1$$.

Ответ

1) $$(1;2),\ (2;1)$$; 2) $$(1;1)$$.