Упр.13.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {((x+y)(x^2-y^2)=9, (x-y)(x^2+y^2)=5);
2) {((x/y)(x^2-2y^2)=4, (y/x)(x^2+2y^2)=3).

Подробный ответ

1)
$$\begin{cases} (x+y)(x^2-y^2)=9,\\ (x-y)(x^2+y^2)=5. \end{cases}$$
Так как $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),$$ получаем
$$\begin{cases} (x-y)(x+y)^2=9,\\ (x-y)(x^2+y^2)=5. \end{cases}$$
Из первого уравнения выразим
$$x-y=\frac{9}{(x+y)^2}.$$
Подставим во второе:
$$\frac{9}{(x+y)^2}(x^2+y^2)=5.$$
Удобнее обозначить $$u=x+y.$$ Тогда $$x-y=\frac{9}{u^2}$$ и
$$x=\frac{u+\frac{9}{u^2}}{2}, \quad y=\frac{u-\frac{9}{u^2}}{2}.$$
Но проще воспользоваться преобразованием из исходного решения:
$$\frac{(x+y)^2}{x^2+y^2}=\frac{9}{5}.$$
Тогда
$$5(x+y)^2=9(x^2+y^2),$$
$$5(x^2+2xy+y^2)=9(x^2+y^2),$$
$$4x^2-10xy+4y^2=0,$$
$$2x^2-5xy+2y^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$2x^2-5yx+2y^2=0.$$
Дискриминант:
$$D=(5y)^2-4\cdot 2\cdot 2y^2=25y^2-16y^2=9y^2.$$
Тогда
$$x=\frac{5y\pm 3y}{4},$$
откуда
$$x=\frac{y}{2} \quad \text{или} \quad x=2y.$$
Если $$x=\frac{y}{2},$$ то из второго уравнения:
$$\left(\frac{y}{2}-y\right)\left(\frac{y^2}{4}+y^2\right)=5,$$
$$-\frac{y}{2}\cdot \frac{5y^2}{4}=5,$$
$$y^3=-8,$$
$$y=-2,\quad x=-1.$$
Если $$x=2y,$$ то:
$$\bigl(2y-y\bigr)\bigl(4y^2+y^2\bigr)=5,$$
$$y\cdot 5y^2=5,$$
$$y^3=1,$$
$$y=1,\quad x=2.$$
2)
$$\begin{cases} \dfrac{x}{y}(x^2-2y^2)=4,\\ \dfrac{y}{x}(x^2+2y^2)=3. \end{cases}$$
Здесь $$x\neq 0,\ y\neq 0.$$ Умножим первое уравнение на $$x^2y^2$$, а второе — на $$x^2y^2$$ и затем исключим дроби:
$$\begin{cases} x^2(x^2-2y^2)=4y^2,\\ y^2(x^2+2y^2)=3x^2. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$3$$, второе — на $$4$$:
$$\begin{cases} 3x^4-6x^2y^2=12y^2,\\ 4x^2y^2+8y^4=12x^2. \end{cases}$$
Удобнее воспользоваться преобразованием из исходного решения:
$$3x^4-10x^2y^2-8y^4=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x^2$$:
$$3(x^2)^2-10y^2x^2-8y^4=0.$$
Дискриминант:
$$D=(10y^2)^2+4\cdot 3\cdot 8y^4=196y^4.$$
Тогда
$$x^2=\frac{10y^2\pm 14y^2}{6}.$$
Получаем:
$$x^2=4y^2 \quad \text{или} \quad x^2=-\frac{2}{3}y^2.$$
Второй случай невозможен, значит
$$x=\pm 2y.$$
Подставим в первое уравнение.
Если $$x=2y,$$ то
$$\frac{2y}{y}(4y^2-2y^2)=4,$$
$$2\cdot 2y^2=4,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm 1,\quad x=\pm 2.$$
Если $$x=-2y,$$ то
$$\frac{-2y}{y}(4y^2-2y^2)=4,$$
$$-4y^2=4,$$
что невозможно.