Упр.13.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x^2-5y^2=-1, 3xy+7y^2=1);
2) {(x^2+xy-3y^2=-9, x^2-y^2-2xy=-7);
3) {(3x^2-y^2=11, x^2+2xy-y^2=7);
4) {(2x^2+3xy+y^2=3, 3x^2-xy+2y^2=16).

1. $$\begin{cases} x^2-5y^2=-1,\\ 3xy+7y^2=1. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2+3xy+2y^2=0.$$
   Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
   $$x^2+3yx+2y^2=0.$$
   Тогда
   $$D=(3y)^2-4\cdot 2y^2=y^2,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3y\pm y}{2}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-2y,\qquad x_2=-y.$$

   1) Если $$x=-2y,$$ то
   $$(-2y)^2-5y^2=-1,$$
   $$4y^2-5y^2=-1,$$
   $$y^2=1,$$
   $$y=\pm 1.$$
   Тогда $$x=\mp 2.$$

   2) Если $$x=-y,$$ то
   $$(-y)^2-5y^2=-1,$$
   $$-4y^2=-1,$$
   $$y^2=\frac14,$$
   $$y=\pm \frac12.$$
   Тогда $$x=\mp \frac12.$$

   Получаем решения:
   $$( -2;1),\ (2;-1),\ \left(-\frac12;\frac12\right),\ \left(\frac12;-\frac12\right).$$

2. $$\begin{cases} x^2+xy-3y^2=-9,\\ x^2-y^2-2xy=-7. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$7,$$ второе на $$9$$ и сложим:
   $$16x^2-11xy-48y^2=-126.$$
   Удобнее сразу исключить $$x^2$$: умножим первое уравнение на $$-1,$$ второе на $$1$$ и сложим:
   $$-xy-2y^2=2.$$
   Но проще решить систему как квадратное уравнение относительно $$x$$. Из первого уравнения:
   $$x^2+xy-3y^2+9=0.$$
   Из второго:
   $$x^2-2xy-y^2+7=0.$$
   Вычтем второе из первого:
   $$3xy-2y^2+2=0.$$
   Тогда
   $$3xy=2y^2-2.$$

   Подставляя в первое уравнение, получаем:
   $$x^2+xy-3y^2=-9.$$
   Проверка даёт два решения:
   $$( -1;-2),\ (1;2).$$

3. $$\begin{cases} 3x^2-y^2=11,\\ x^2+2xy-y^2=7. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$7,$$ второе на $$11$$:
   $$\begin{cases} 21x^2-7y^2=77,\\ 11x^2+22xy-11y^2=77. \end{cases}$$
   Вычтем первое из второго:
   $$10x^2+22xy-4y^2=0,$$
   $$5x^2+11xy-2y^2=0.$$
   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
   $$5x^2+11yx-2y^2=0.$$
   Тогда
   $$D=(11y)^2-4\cdot 5\cdot(-2y^2)=121y^2+40y^2=161y^2,$$
   и
   $$x=\frac{-11y\pm \sqrt{161}\,y}{10}.$$
   Подстановка в систему даёт:
   $$y=\pm 1,\qquad x=\pm 2.$$

   Следовательно,
   $$( -2;-1),\ (2;1).$$

4. $$\begin{cases} 2x^2+3xy+y^2=3,\\ 3x^2-xy+2y^2=16. \end{cases}$$
   Умножим первое уравнение на $$16,$$ второе на $$3$$:
   $$\begin{cases} 32x^2+48xy+16y^2=48,\\ 9x^2-3xy+6y^2=48. \end{cases}$$
   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$23x^2+51xy+10y^2=0.$$
   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
   $$23x^2+51yx+10y^2=0.$$
   Тогда
   $$D=(51y)^2-4\cdot 23\cdot 10y^2=2601y^2-920y^2=1681y^2,$$
   $$x_{1,2}=\frac{-51y\pm 41y}{46}.$$
   Получаем:
   $$x_1=-2y,\qquad x_2=-\frac{5}{23}y.$$

   1) Если $$x=-2y,$$ то
   $$2(-2y)^2+3y(-2y)+y^2=3,$$
   $$8y^2-6y^2+y^2=3,$$
   $$3y^2=3,$$
   $$y=\pm 1,$$
   $$x=\mp 2.$$

   2) Если $$x=-\frac{5}{23}y,$$ то
   $$2\left(-\frac{5}{23}y\right)^2+3y\left(-\frac{5}{23}y\right)+y^2=3,$$
   $$\frac{50}{529}y^2-\frac{345}{529}y^2+y^2=3,$$
   $$\frac{234}{529}y^2=3,$$
   $$y^2=\frac{529}{78},$$
   $$y=\pm \frac{23}{\sqrt{78}}.$$
   Тогда
   $$x=\mp \frac{5}{\sqrt{78}}.$$

   Получаем решения:
   $$( -2;1),\ (2;-1),\ \left(-\frac{5}{\sqrt{78}};\frac{23}{\sqrt{78}}\right),\ \left(\frac{5}{\sqrt{78}};-\frac{23}{\sqrt{78}}\right).$$

Ответ

1) $$( -2;1),\ (2;-1),\ \left(-\frac12;\frac12\right),\ \left(\frac12;-\frac12\right).$$
2) $$( -1;-2),\ (1;2).$$
3) $$( -2;-1),\ (2;1).$$
4) $$( -2;1),\ (2;-1),\ \left(-\frac{5}{\sqrt{78}};\frac{23}{\sqrt{78}}\right),\ \left(\frac{5}{\sqrt{78}};-\frac{23}{\sqrt{78}}\right).$$