Упр.13.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x^2+3xy=7, y^2+xy=6);
2) {(x^2+xy-y^2=20, x^2+3xy-3y^2=28);
3) {(x^2+4xy-3y^2=2, x^2-xy+5y^2=5);
4) {(2x^2-3xy+2y^2=14, x^2+xy-y^2=5).

1. Умножим первое уравнение на $$6$$, а второе — на $$7$$:

   $$ \begin{aligned} 6x^2+18xy&=42,\\ 7y^2+7xy&=42. \end{aligned} $$

   Вычтем второе уравнение из первого:

   $$ 6x^2+11xy-7y^2=0. $$

   Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:

   $$ 6x^2+11yx-7y^2=0. $$

   Тогда
   $$ D=(11y)^2-4\cdot 6\cdot(-7y^2)=121y^2+168y^2=289y^2, $$
   откуда
   $$ x=\frac{-11y\pm 17y}{12}. $$

   Получаем:
   $$ x=-\frac{7y}{3}\quad \text{или}\quad x=\frac{y}{2}. $$

   1) Если $$x=-\frac{7y}{3}$$, то из второго уравнения:
   $$ y^2+y\left(-\frac{7y}{3}\right)=6, $$
   $$ 3y^2-7y^2=18, $$
   $$ -4y^2=18, $$
   что невозможно.

   2) Если $$x=\frac{y}{2}$$, то из второго уравнения:
   $$ y^2+y\cdot \frac{y}{2}=6, $$
   $$ 2y^2+y^2=12, $$
   $$ 3y^2=12, $$
   $$ y^2=4, $$
   $$ y=\pm 2. $$
   Тогда
   $$ x=\frac{y}{2}=\pm 1. $$

   Получаем решения:
   $$ (-1,-2),\ (1,2). $$

2. Умножим первое уравнение на $$7$$, а второе — на $$5$$:

   $$ \begin{aligned} 7x^2+7xy-7y^2&=140,\\ 5x^2+15xy-15y^2&=140. \end{aligned} $$

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$ 2x^2-8xy+8y^2=0. $$
   Разделим на $$2$$:
   $$ x^2-4xy+4y^2=0, $$
   $$ (x-2y)^2=0. $$
   Значит,
   $$ x=2y. $$

   Подставим в первое уравнение:
   $$ (2y)^2+2y\cdot y-y^2=20, $$
   $$ 4y^2+2y^2-y^2=20, $$
   $$ 5y^2=20, $$
   $$ y^2=4, $$
   $$ y=\pm 2. $$
   Тогда
   $$ x=2y=\pm 4. $$

   Ответ:
   $$ (-4,-2),\ (4,2). $$

3. Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе — на $$2$$:

   $$ \begin{aligned} 5x^2+20xy-15y^2&=10,\\ 2x^2-2xy+10y^2&=10. \end{aligned} $$

   Вычтем второе уравнение из первого:
   $$ 3x^2+22xy-25y^2=0. $$
   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
   $$ 3x^2+22yx-25y^2=0. $$
   Тогда
   $$ D=(22y)^2-4\cdot 3\cdot(-25y^2)=484y^2+300y^2=784y^2, $$
   и
   $$ x=\frac{-22y\pm 28y}{6}. $$
   Получаем:
   $$ x=-\frac{25y}{3}\quad \text{или}\quad x=y. $$

   1) Если $$x=-\frac{25y}{3}$$, то из второго уравнения:
   $$ \left(-\frac{25y}{3}\right)^2-\left(-\frac{25y}{3}\right)y+5y^2=5. $$
   Умножим на $$9$$:
   $$ 625y^2+75y^2+45y^2=45, $$
   $$ 745y^2=45, $$
   $$ y^2=\frac{9}{149}, $$
   $$ y=\pm \frac{3}{\sqrt{149}}. $$
   Тогда
   $$ x=-\frac{25y}{3}=\mp \frac{25}{\sqrt{149}}. $$

   2) Если $$x=y$$, то из второго уравнения:
   $$ y^2-y^2+5y^2=5, $$
   $$ 5y^2=5, $$
   $$ y^2=1, $$
   $$ y=\pm 1, $$
   и значит
   $$ x=\pm 1. $$

   Ответ:
   $$ \left(-\frac{25}{\sqrt{149}},\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ \left(\frac{25}{\sqrt{149}},-\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ (-1,-1),\ (1,1). $$

4. Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе — на $$14$$:

   $$ \begin{aligned} 10x^2-15xy+10y^2&=70,\\ 14x^2+14xy-14y^2&=70. \end{aligned} $$

   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$ 4x^2+29xy-24y^2=0. $$
   Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
   $$ 4x^2+29yx-24y^2=0. $$
   Тогда
   $$ D=(29y)^2-4\cdot 4\cdot(-24y^2)=841y^2+384y^2=1225y^2, $$
   и
   $$ x=\frac{-29y\pm 35y}{8}. $$
   Получаем:
   $$ x=-8y\quad \text{или}\quad x=\frac{3y}{4}. $$

   1) Если $$x=-8y$$, то из второго уравнения:
   $$ 2(-8y)^2-3(-8y)y+2y^2=14, $$
   $$ 128y^2+24y^2+2y^2=14, $$
   $$ 154y^2=14, $$
   $$ y^2=\frac{1}{11}, $$
   $$ y=\pm \frac{1}{\sqrt{11}}. $$
   Тогда
   $$ x=-8y=\mp \frac{8}{\sqrt{11}}. $$

   2) Если $$x=\frac{3y}{4}$$, то из второго уравнения:
   $$ 2\left(\frac{3y}{4}\right)^2-3\cdot \frac{3y}{4}\cdot y+2y^2=14. $$
   Умножим на $$16$$:
   $$ 18y^2-36y^2+32y^2=224, $$
   $$ 14y^2=224, $$
   $$ y^2=16, $$
   $$ y=\pm 4. $$
   Тогда
   $$ x=\frac{3y}{4}=\pm 3. $$

   Ответ:
   $$ \left(-\frac{8}{\sqrt{11}},\frac{1}{\sqrt{11}}\right),\ \left(\frac{8}{\sqrt{11}},-\frac{1}{\sqrt{11}}\right),\ (-3,-4),\ (3,4). $$

Ответ

1) $$(-1,-2),\ (1,2)$$
2) $$(-4,-2),\ (4,2)$$
3) $$\left(-\frac{25}{\sqrt{149}},\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ \left(\frac{25}{\sqrt{149}},-\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ (-1,-1),\ (1,1)$$
4) $$\left(-\frac{8}{\sqrt{11}},\frac{1}{\sqrt{11}}\right),\ \left(\frac{8}{\sqrt{11}},-\frac{1}{\sqrt{11}}\right),\ (-3,-4),\ (3,4)$$