Упр.13.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
- а) $$\begin{cases} x^2+3xy=7, \\ y^2+xy=6; \end{cases}$$
б) $$\begin{cases} x^2+xy-y^2=20, \\ x^2+3xy-3y^2=28; \end{cases}$$
в) $$\begin{cases} x^2+4xy-3y^2=2, \\ x^2-xy+5y^2=5; \end{cases}$$
г) $$\begin{cases} 2x^2-3xy+2y^2=14, \\ x^2+xy-y^2=5. \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$6$$, а второе — на $$7$$:
$$\begin{aligned} 6x^2+18xy&=42,\\ 7y^2+7xy&=42. \end{aligned}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$6x^2+11xy-7y^2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$6x^2+11yx-7y^2=0.$$
Тогда
$$D=(11y)^2-4\cdot 6\cdot(-7y^2)=121y^2+168y^2=289y^2,$$
откуда
$$x=\frac{-11y\pm 17y}{12}.$$Получаем:
$$x=-\frac{7y}{3}\quad \text{или}\quad x=\frac{y}{2}.$$1) Если $$x=-\frac{7y}{3}$$, то из второго уравнения:
$$y^2+y\left(-\frac{7y}{3}\right)=6,$$
$$3y^2-7y^2=18,$$
$$-4y^2=18,$$
что невозможно.2) Если $$x=\frac{y}{2}$$, то из второго уравнения:
$$y^2+y\cdot \frac{y}{2}=6,$$
$$2y^2+y^2=12,$$
$$3y^2=12,$$
$$y^2=4,$$
$$y=\pm 2.$$
Тогда
$$x=\frac{y}{2}=\pm 1.$$Получаем решения:
$$(-1,-2),\ (1,2).$$Умножим первое уравнение на $$7$$, а второе — на $$5$$:
$$\begin{aligned} 7x^2+7xy-7y^2&=140,\\ 5x^2+15xy-15y^2&=140. \end{aligned}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$2x^2-8xy+8y^2=0.$$
Разделим на $$2$$:
$$x^2-4xy+4y^2=0,$$
$$(x-2y)^2=0.$$
Значит,
$$x=2y.$$Подставим в первое уравнение:
$$(2y)^2+2y\cdot y-y^2=20,$$
$$4y^2+2y^2-y^2=20,$$
$$5y^2=20,$$
$$y^2=4,$$
$$y=\pm 2.$$
Тогда
$$x=2y=\pm 4.$$Ответ:
$$(-4,-2),\ (4,2).$$Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе — на $$2$$:
$$\begin{aligned} 5x^2+20xy-15y^2&=10,\\ 2x^2-2xy+10y^2&=10. \end{aligned}$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$3x^2+22xy-25y^2=0.$$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$3x^2+22yx-25y^2=0.$$
Тогда
$$D=(22y)^2-4\cdot 3\cdot(-25y^2)=484y^2+300y^2=784y^2,$$
и
$$x=\frac{-22y\pm 28y}{6}.$$
Получаем:
$$x=-\frac{25y}{3}\quad \text{или}\quad x=y.$$1) Если $$x=-\frac{25y}{3}$$, то из второго уравнения:
$$\left(-\frac{25y}{3}\right)^2-\left(-\frac{25y}{3}\right)y+5y^2=5.$$
Умножим на $$9$$:
$$625y^2+75y^2+45y^2=45,$$
$$745y^2=45,$$
$$y^2=\frac{9}{149},$$
$$y=\pm \frac{3}{\sqrt{149}}.$$
Тогда
$$x=-\frac{25y}{3}=\mp \frac{25}{\sqrt{149}}.$$2) Если $$x=y$$, то из второго уравнения:
$$y^2-y^2+5y^2=5,$$
$$5y^2=5,$$
$$y^2=1,$$
$$y=\pm 1,$$
и значит
$$x=\pm 1.$$Ответ:
$$\left(-\frac{25}{\sqrt{149}},\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ \left(\frac{25}{\sqrt{149}},-\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ (-1,-1),\ (1,1).$$Умножим первое уравнение на $$5$$, а второе — на $$14$$:
$$\begin{aligned} 10x^2-15xy+10y^2&=70,\\ 14x^2+14xy-14y^2&=70. \end{aligned}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$4x^2+29xy-24y^2=0.$$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$4x^2+29yx-24y^2=0.$$
Тогда
$$D=(29y)^2-4\cdot 4\cdot(-24y^2)=841y^2+384y^2=1225y^2,$$
и
$$x=\frac{-29y\pm 35y}{8}.$$
Получаем:
$$x=-8y\quad \text{или}\quad x=\frac{3y}{4}.$$1) Если $$x=-8y$$, то из второго уравнения:
$$2(-8y)^2-3(-8y)y+2y^2=14,$$
$$128y^2+24y^2+2y^2=14,$$
$$154y^2=14,$$
$$y^2=\frac{1}{11},$$
$$y=\pm \frac{1}{\sqrt{11}}.$$
Тогда
$$x=-8y=\mp \frac{8}{\sqrt{11}}.$$2) Если $$x=\frac{3y}{4}$$, то из второго уравнения:
$$2\left(\frac{3y}{4}\right)^2-3\cdot \frac{3y}{4}\cdot y+2y^2=14.$$
Умножим на $$16$$:
$$18y^2-36y^2+32y^2=224,$$
$$14y^2=224,$$
$$y^2=16,$$
$$y=\pm 4.$$
Тогда
$$x=\frac{3y}{4}=\pm 3.$$Ответ:
$$\left(-\frac{8}{\sqrt{11}},\frac{1}{\sqrt{11}}\right),\ \left(\frac{8}{\sqrt{11}},-\frac{1}{\sqrt{11}}\right),\ (-3,-4),\ (3,4).$$
Ответ
1) $$(-1,-2),\ (1,2)$$
2) $$(-4,-2),\ (4,2)$$
3) $$\left(-\frac{25}{\sqrt{149}},\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ \left(\frac{25}{\sqrt{149}},-\frac{3}{\sqrt{149}}\right),\ (-1,-1),\ (1,1)$$
4) $$\left(-\frac{8}{\sqrt{11}},\frac{1}{\sqrt{11}}\right),\ \left(\frac{8}{\sqrt{11}},-\frac{1}{\sqrt{11}}\right),\ (-3,-4),\ (3,4)$$
