Упр.13.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2+4xy-5y^2=0, x^2-3xy+4y=0);
2) {(2x^2+3xy-5y^2=0, x+y^2+1=0).

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$ \begin{cases} x^2+4xy-5y^2=0,\\ x^2-3xy+4y=0. \end{cases} $$
Первое уравнение рассматриваем как квадратное относительно $$x$$:
$$ x^2+(4y)x-5y^2=0. $$
Тогда
$$ D=(4y)^2-4\cdot 1\cdot(-5y^2)=16y^2+20y^2=36y^2. $$
$$ x=\frac{-4y\pm 6y}{2}, $$
откуда
$$ x_1=-5y,\quad x_2=y. $$
Подставим в второе уравнение.
1) Если $$x=-5y$$, то
$$ (-5y)^2-3y(-5y)+4y=0; $$
$$ 25y^2+15y^2+4y=0; $$
$$ 40y^2+4y=0; $$
$$ 4y(10y+1)=0. $$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=-\frac{1}{10}$$.
Если $$y=0$$, то $$x=0$$.
Если $$y=-\frac{1}{10}$$, то $$x=\frac{1}{2}$$.
2) Если $$x=y$$, то
$$ y^2-3y^2+4y=0; $$
$$ 2y^2-4y=0; $$
$$ 2y(y-2)=0. $$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=2$$.
Если $$y=0$$, то $$x=0$$.
Если $$y=2$$, то $$x=2$$.
Решим вторую систему:
$$ \begin{cases} 2x^2+3xy-5y^2=0,\\ x+y^2+1=0. \end{cases} $$
Первое уравнение рассматриваем как квадратное относительно $$x$$:
$$ 2x^2+(3y)x-5y^2=0. $$
$$ D=(3y)^2-4\cdot 2\cdot(-5y^2)=9y^2+40y^2=49y^2. $$
$$ x=\frac{-3y\pm 7y}{4}, $$
значит
$$ x_1=-\frac{5y}{2},\quad x_2=y. $$
1) Если $$x=-\frac{5y}{2}$$, то из второго уравнения:
$$ -\frac{5y}{2}+y^2+1=0. $$
Умножим на $$2$$:
$$ 2y^2-5y+2=0. $$
$$ D=25-16=9, $$
поэтому
$$ y_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\quad y_2=\frac{5+3}{4}=2. $$
Тогда
$$ x_1=-\frac{5}{2}\cdot \frac12=-\frac54,\quad x_2=-\frac{5}{2}\cdot 2=-5. $$
2) Если $$x=y$$, то
$$ y+y^2+1=0. $$
Тогда
$$ D=1-4=-3<0, $$ значит действительных решений нет.