Упр.13.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2+4xy-5y^2=0, \\ x^2-3xy+4y=0; \end{cases}$$
$$\begin{cases} 2x^2+3xy-5y^2=0, \\ x+y^2+1=0. \end{cases}$$

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$\begin{cases} x^2+4xy-5y^2=0,\\ x^2-3xy+4y=0. \end{cases}$$
Первое уравнение рассматриваем как квадратное относительно $$x$$:
$$x^2+(4y)x-5y^2=0.$$
Тогда
$$D=(4y)^2-4\cdot 1\cdot(-5y^2)=16y^2+20y^2=36y^2.$$
$$x=\frac{-4y\pm 6y}{2},$$
откуда
$$x_1=-5y,\quad x_2=y.$$
Подставим в второе уравнение.
1) Если $$x=-5y$$, то
$$(-5y)^2-3y(-5y)+4y=0;$$
$$25y^2+15y^2+4y=0;$$
$$40y^2+4y=0;$$
$$4y(10y+1)=0.$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=-\frac{1}{10}$$.
Если $$y=0$$, то $$x=0$$.
Если $$y=-\frac{1}{10}$$, то $$x=\frac{1}{2}$$.
2) Если $$x=y$$, то
$$y^2-3y^2+4y=0;$$
$$2y^2-4y=0;$$
$$2y(y-2)=0.$$
Отсюда $$y=0$$ или $$y=2$$.
Если $$y=0$$, то $$x=0$$.
Если $$y=2$$, то $$x=2$$.
Решим вторую систему:
$$\begin{cases} 2x^2+3xy-5y^2=0,\\ x+y^2+1=0. \end{cases}$$
Первое уравнение рассматриваем как квадратное относительно $$x$$:
$$2x^2+(3y)x-5y^2=0.$$
$$D=(3y)^2-4\cdot 2\cdot(-5y^2)=9y^2+40y^2=49y^2.$$
$$x=\frac{-3y\pm 7y}{4},$$
значит
$$x_1=-\frac{5y}{2},\quad x_2=y.$$
1) Если $$x=-\frac{5y}{2}$$, то из второго уравнения:
$$-\frac{5y}{2}+y^2+1=0.$$
Умножим на $$2$$:
$$2y^2-5y+2=0.$$
$$D=25-16=9,$$
поэтому
$$y_1=\frac{5-3}{4}=\frac12,\quad y_2=\frac{5+3}{4}=2.$$
Тогда
$$x_1=-\frac{5}{2}\cdot \frac12=-\frac54,\quad x_2=-\frac{5}{2}\cdot 2=-5.$$
2) Если $$x=y$$, то
$$y+y^2+1=0.$$
Тогда
$$D=1-4=-3<0,$$ значит действительных решений нет.