Упр.13.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Из первого уравнения:
   $$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac56$$
   умножим на $$xy$$:
   $$x^2-y^2=\frac56xy.$$
   По условию $$x^2-y^2=5$$, значит
   $$\frac56xy=5,\quad xy=6.$$
   Тогда $$y=\frac6x$$. Подставим во второе уравнение:
   $$x^2-\left(\frac6x\right)^2=5.$$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$x^4-5x^2-36=0.$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Получим:
   $$t^2-5t-36=0,$$
   $$D=25+144=169,$$
   $$t_1=\frac{5-13}{2}=-4,\quad t_2=\frac{5+13}{2}=9.$$
   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2=9$$, откуда $$x=\pm 3$$.
   Тогда
   $$y=\frac6x \Rightarrow y=2 \text{ или } y=-2.$$
   Получаем пары:
   $$(-3;\,-2),\ (3;\,2).$$

2. Из второго уравнения:
   $$\frac1{(x+1)^2}-\frac1{y^2}=\frac14.$$
   Разложим разность квадратов:
   $$\left(\frac1{x+1}-\frac1y\right)\left(\frac1{x+1}+\frac1y\right)=\frac14.$$
   По первому уравнению
   $$\frac1{x+1}+\frac1y=\frac13.$$
   Тогда
   $$\frac13\left(\frac1{x+1}-\frac1y\right)=\frac14,$$
   $$\frac1{x+1}-\frac1y=\frac34.$$
   Решим систему:
   $$\begin{cases} \frac1{x+1}+\frac1y=\frac13,\\ \frac1{x+1}-\frac1y=\frac34. \end{cases}$$
   Складываем:
   $$\frac2{x+1}=\frac{13}{12},$$
   $$x+1=\frac{24}{13},\quad x=\frac{11}{13}.$$
   Вычитаем:
   $$\frac2y=\frac13-\frac34=-\frac5{12},$$
   $$y=-\frac{24}{5}.$$
   Ответ:
   $$\left(\frac{11}{13};\,-\frac{24}{5}\right).$$

3. Пусть
   $$t=(x+y)^2.$$
   Тогда первое уравнение принимает вид:
   $$t^2+4t-117=0.$$
   Найдём корни:
   $$D=16+468=484,$$
   $$t_1=\frac{-4-22}{2}=-13,\quad t_2=\frac{-4+22}{2}=9.$$
   Так как $$t=(x+y)^2\ge 0$$, то $$t=9$$, значит
   $$(x+y)^2=9,\quad x+y=3 \text{ или } x+y=-3.$$
   Используем второе уравнение:
   $$x-y=25.$$
   1) Если $$x+y=3$$, то
   $$\begin{cases} x+y=3,\\ x-y=25 \end{cases} \Rightarrow x=14,\ y=-11.$$
   2) Если $$x+y=-3$$, то
   $$\begin{cases} x+y=-3,\\ x-y=25 \end{cases} \Rightarrow x=11,\ y=-14.$$
   Ответ:
   $$(11;\,-14),\ (14;\,-11).$$

4. Обозначим
   $$t=\sqrt{\frac{x+y}{5x}}.$$
   Тогда
   $$\sqrt{\frac{5x}{x+y}}=\frac1t,$$
   и первое уравнение системы:
   $$t+\frac1t=\frac{34}{15}.$$
   Умножим на $$t$$:
   $$15t^2-34t+15=0.$$
   $$D=34^2-4\cdot 15\cdot 15=256,$$
   $$t_1=\frac{34-16}{30}=\frac35,\quad t_2=\frac{34+16}{30}=\frac53.$$
   
   1) Если $$t=\frac35$$, то
   $$\sqrt{\frac{x+y}{5x}}=\frac35,$$
   $$\frac{x+y}{5x}=\frac{9}{25},$$
   $$25(x+y)=45x,\quad 25y=20x,\quad y=\frac45x.$$
   Из $$x+y=12$$ получаем
   $$x+\frac45x=12,\quad \frac95x=12,\quad x=\frac{20}{3},$$
   $$y=12-\frac{20}{3}=\frac{16}{3}.$$
   2) Если $$t=\frac53$$, то
   $$\sqrt{\frac{x+y}{5x}}=\frac53,$$
   $$\frac{x+y}{5x}=\frac{25}{9},$$
   $$9(x+y)=125x,\quad 9y=116x,\quad y=\frac{116}{9}x.$$
   Из $$x+y=12$$ получаем
   $$x+\frac{116}{9}x=12,\quad \frac{125}{9}x=12,\quad x=\frac{108}{125},$$
   $$y=12-\frac{108}{125}=\frac{1392}{125}.$$
   Ответ:
   $$\left(\frac{20}{3};\frac{16}{3}\right),\ \left(\frac{108}{125};\frac{1392}{125}\right).$$

Ответ

1) $$(-3;\,-2),\ (3;\,2)$$
2) $$\left(\frac{11}{13};\,-\frac{24}{5}\right)$$
3) $$(11;\,-14),\ (14;\,-11)$$
4) $$\left(\frac{20}{3};\frac{16}{3}\right),\ \left(\frac{108}{125};\frac{1392}{125}\right)$$