Упр.13.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x/y-y/x=5/6, x^2-y^2=5);
2) {(1/(x+1)+1/y=1/3, 1/(x+y)^2-1/y^2=1/4);
3) {((x+y)^4+4(x+y)^2=117, x-y=25);
4) {(v((x+y)/(5x))+v((5x)/(x+y))=34/15, x+y=12).

1. Из первого уравнения:
   $$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac56$$
   умножим на $$xy$$:
   $$ x^2-y^2=\frac56xy. $$
   По условию $$x^2-y^2=5$$, значит
   $$ \frac56xy=5,\quad xy=6. $$
   Тогда $$y=\frac6x$$. Подставим во второе уравнение:
   $$ x^2-\left(\frac6x\right)^2=5. $$
   Умножим на $$x^2$$:
   $$ x^4-5x^2-36=0. $$
   Обозначим $$t=x^2$$. Получим:
   $$ t^2-5t-36=0, $$
   $$ D=25+144=169, $$
   $$ t_1=\frac{5-13}{2}=-4,\quad t_2=\frac{5+13}{2}=9. $$
   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2=9$$, откуда $$x=\pm 3$$.
   Тогда
   $$ y=\frac6x \Rightarrow y=2 \text{ или } y=-2. $$
   Получаем пары:
   $$ (-3;\,-2),\ (3;\,2). $$

2. Из второго уравнения:
   $$ \frac1{(x+1)^2}-\frac1{y^2}=\frac14. $$
   Разложим разность квадратов:
   $$ \left(\frac1{x+1}-\frac1y\right)\left(\frac1{x+1}+\frac1y\right)=\frac14. $$
   По первому уравнению
   $$ \frac1{x+1}+\frac1y=\frac13. $$
   Тогда
   $$ \frac13\left(\frac1{x+1}-\frac1y\right)=\frac14, $$
   $$ \frac1{x+1}-\frac1y=\frac34. $$
   Решим систему:
   $$ \begin{cases} \frac1{x+1}+\frac1y=\frac13,\\ \frac1{x+1}-\frac1y=\frac34. \end{cases} $$
   Складываем:
   $$ \frac2{x+1}=\frac{13}{12}, $$
   $$ x+1=\frac{24}{13},\quad x=\frac{11}{13}. $$
   Вычитаем:
   $$ \frac2y=\frac13-\frac34=-\frac5{12}, $$
   $$ y=-\frac{24}{5}. $$
   Ответ:
   $$ \left(\frac{11}{13};\,-\frac{24}{5}\right). $$

3. Пусть
   $$ t=(x+y)^2. $$
   Тогда первое уравнение принимает вид:
   $$ t^2+4t-117=0. $$
   Найдём корни:
   $$ D=16+468=484, $$
   $$ t_1=\frac{-4-22}{2}=-13,\quad t_2=\frac{-4+22}{2}=9. $$
   Так как $$t=(x+y)^2\ge 0$$, то $$t=9$$, значит
   $$ (x+y)^2=9,\quad x+y=3 \text{ или } x+y=-3. $$
   Используем второе уравнение:
   $$ x-y=25. $$
   1) Если $$x+y=3$$, то
   $$ \begin{cases} x+y=3,\\ x-y=25 \end{cases} \Rightarrow x=14,\ y=-11. $$
   2) Если $$x+y=-3$$, то
   $$ \begin{cases} x+y=-3,\\ x-y=25 \end{cases} \Rightarrow x=11,\ y=-14. $$
   Ответ:
   $$ (11;\,-14),\ (14;\,-11). $$

4. Обозначим
   $$ t=\sqrt{\frac{x+y}{5x}}. $$
   Тогда
   $$ \sqrt{\frac{5x}{x+y}}=\frac1t, $$
   и первое уравнение системы:
   $$ t+\frac1t=\frac{34}{15}. $$
   Умножим на $$t$$:
   $$ 15t^2-34t+15=0. $$
   $$ D=34^2-4\cdot 15\cdot 15=256, $$
   $$ t_1=\frac{34-16}{30}=\frac35,\quad t_2=\frac{34+16}{30}=\frac53. $$
   
   1) Если $$t=\frac35$$, то
   $$ \sqrt{\frac{x+y}{5x}}=\frac35, $$
   $$ \frac{x+y}{5x}=\frac{9}{25}, $$
   $$ 25(x+y)=45x,\quad 25y=20x,\quad y=\frac45x. $$
   Из $$x+y=12$$ получаем
   $$ x+\frac45x=12,\quad \frac95x=12,\quad x=\frac{20}{3}, $$
   $$ y=12-\frac{20}{3}=\frac{16}{3}. $$
   2) Если $$t=\frac53$$, то
   $$ \sqrt{\frac{x+y}{5x}}=\frac53, $$
   $$ \frac{x+y}{5x}=\frac{25}{9}, $$
   $$ 9(x+y)=125x,\quad 9y=116x,\quad y=\frac{116}{9}x. $$
   Из $$x+y=12$$ получаем
   $$ x+\frac{116}{9}x=12,\quad \frac{125}{9}x=12,\quad x=\frac{108}{125}, $$
   $$ y=12-\frac{108}{125}=\frac{1392}{125}. $$
   Ответ:
   $$ \left(\frac{20}{3};\frac{16}{3}\right),\ \left(\frac{108}{125};\frac{1392}{125}\right). $$

Ответ

1) $$(-3;\,-2),\ (3;\,2)$$
2) $$\left(\frac{11}{13};\,-\frac{24}{5}\right)$$
3) $$(11;\,-14),\ (14;\,-11)$$
4) $$\left(\frac{20}{3};\frac{16}{3}\right),\ \left(\frac{108}{125};\frac{1392}{125}\right)$$