Упр.12.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x^2+xy=15, y^2+xy=10); 3) {(2y^2+x^2+xy=4, 3xy-2y=5);
2) {(x^2+3xy=18, xy+4y^2=7); 4) {(x^2+y+1/4=0, y^2+x+1/4=0).

1. $$\begin{cases} x^2+xy=15,\\ y^2+xy=10 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2+2xy+y^2=25,$$
   $$\left(x+y\right)^2=25,$$
   откуда
   $$x+y=5 \text{ или } x+y=-5.$$

   1) Если $$x+y=-5,$$ то $$y=-x-5.$$ Подставим в первое уравнение:
   $$x^2+x(-x-5)=15,$$
   $$-5x=15,$$
   $$x=-3,$$
   $$y=-(-3)-5=-2.$$

   2) Если $$x+y=5,$$ то $$y=5-x.$$ Подставим в первое уравнение:
   $$x^2+x(5-x)=15,$$
   $$5x=15,$$
   $$x=3,$$
   $$y=5-3=2.$$

2. $$\begin{cases} x^2+3xy=18,\\ xy+4y^2=7 \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$4$$ и сложим с первым:
   $$x^2+4xy+4y^2=25,$$
   $$\left(x+2y\right)^2=25,$$
   откуда
   $$x+2y=5 \text{ или } x+2y=-5.$$

   1) Если $$x+2y=-5,$$ то $$x=-2y-5.$$ Подставим во второе уравнение:
   $$y(-2y-5)+4y^2=7,$$
   $$2y^2-5y-7=0.$$
   Тогда
   $$D=25+56=81,$$
   $$y_1=\frac{5-9}{4}=-1,\quad y_2=\frac{5+9}{4}=\frac72.$$
   Соответственно,
   $$x_1=-2(-1)-5=-3,\quad x_2=-2\cdot\frac72-5=-12.$$

   2) Если $$x+2y=5,$$ то $$x=5-2y.$$ Подставим во второе уравнение:
   $$y(5-2y)+4y^2=7,$$
   $$2y^2+5y-7=0.$$
   Тогда
   $$D=25+56=81,$$
   $$y_1=\frac{-5-9}{4}=-\frac72,\quad y_2=\frac{-5+9}{4}=1.$$
   Соответственно,
   $$x_1=5-2\cdot\left(-\frac72\right)=12,\quad x_2=5-2\cdot1=3.$$

3. $$\begin{cases} 2y^2+x^2+xy=4,\\ 3xy-2y=5 \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$3xy-2y=5.$$
   Умножим его на $$1$$ и преобразуем систему:
   $$2y^2+x^2+xy-(3xy-2y)=4-5,$$
   $$x^2-2xy+2y^2+2y=-1.$$
   Перепишем:
   $$\left(x-y\right)^2+\left(y+1\right)^2=0.$$
   Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
   $$x-y=0,\quad y+1=0.$$
   Значит,
   $$y=-1,\quad x=-1.$$

4. $$\begin{cases} x^2+y+\frac14=0,\\ y^2+x+\frac14=0 \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2+x+y^2+y+\frac12=0,$$
   $$\left(x+\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2=0.$$
   Тогда
   $$x+\frac12=0,\quad y+\frac12=0,$$
   откуда
   $$x=-\frac12,\quad y=-\frac12.$$

Ответ

1) $$(-3;\,-2),\ (3;\,2)$$
2) $$(-3;\,-1),\ \left(-12;\,\frac72\right),\ \left(12;\,-\frac72\right),\ (3;\,1)$$
3) $$(-1;\,-1)$$
4) $$\left(-\frac12;\,-\frac12\right)$$