Упр.12.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(2x^2-3xy+5y=5, (x-2)(y-1)=0);
2) {((x-1)y=2x-2, x^2+y^2+3xy=4);
3) {(2x^2-xy-3y=7, 2x^2+x-3=(x-1)(y+5));
4) {(x^2-2xy+y^2=9, 4x^2+xy+4y^2=18).

1. $$\begin{cases} 2x^2-3xy+5y=5,\\ (x-2)(y-1)=0. \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$x=2 \text{ или } y=1.$$

   1) Если $$x=2,$$ то

   $$2\cdot 2^2-3\cdot 2y+5y=5,$$
   $$8-y=5,$$
   $$y=3.$$
   Получаем точку $$ (2;3). $$

   2) Если $$y=1,$$ то

   $$2x^2-3x+5=5,$$
   $$2x^2-3x=0,$$
   $$x(2x-3)=0.$$
   Тогда
   $$x=0 \text{ или } x=\frac{3}{2}.$$
   Получаем точки $$ (0;1) $$ и $$ \left(\frac{3}{2};1\right). $$

2. $$\begin{cases} (x-1)y=2x-2,\\ x^2+y^2+3xy=4. \end{cases}$$
   Первое уравнение преобразуем:
   $$ (x-1)y=2(x-1), $$
   $$ (x-1)(y-2)=0. $$
   Значит,
   $$x=1 \text{ или } y=2.$$

   1) Если $$x=1,$$ то

   $$1+y^2+3y=4,$$
   $$y^2+3y-3=0.$$
   Тогда
   $$D=3^2-4\cdot 1\cdot(-3)=21,$$
   $$y=\frac{-3\pm\sqrt{21}}{2}.$$
   Получаем точки
   $$\left(1;\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\right),\ \left(1;\frac{-3+\sqrt{21}}{2}\right).$$

   2) Если $$y=2,$$ то

   $$x^2+4+6x=4,$$
   $$x^2+6x=0,$$
   $$x(x+6)=0.$$
   Тогда
   $$x=0 \text{ или } x=-6.$$
   Получаем точки $$ (0;2) $$ и $$ (-6;2). $$

3. $$\begin{cases} 2x^2-xy-3y=7,\\ 2x^2+x-3=(x-1)(y+5). \end{cases}$$
   Второе уравнение преобразуем:
   $$2x^2+x-3=(x-1)(y+5),$$
   $$2x^2+x-3=xy+5x-y-5,$$
   $$2x^2-xy-4x+y+2=0,$$
   $$ (x-1)(2x+y-2)=0. $$
   Значит,
   $$x=1 \text{ или } y=2-2x.$$

   1) Если $$x=1,$$ то

   $$2-y-3y=7,$$
   $$4y=-5,$$
   $$y=-\frac{5}{4}.$$
   Получаем точку $$ \left(1;-\frac{5}{4}\right). $$

   2) Если $$y=2-2x,$$ то

   $$2x^2-x(2-2x)-3(2-2x)=7,$$
   $$4x^2+4x-6=7,$$
   $$4x^2+4x-13=0.$$
   Тогда
   $$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-13)=224=16\cdot 14,$$
   $$x=\frac{-4\pm 4\sqrt{14}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{14}}{2}.$$
   Соответствующие значения $$y$$:
   $$y=2-2x=3\mp\sqrt{14}.$$
   Получаем точки
   $$\left(\frac{-1+\sqrt{14}}{2};\,3-\sqrt{14}\right),\ \left(\frac{-1-\sqrt{14}}{2};\,3+\sqrt{14}\right).$$

4. $$\begin{cases} x^2-2xy+y^2=9,\\ 4x^2+xy+4y^2=18. \end{cases}$$
   Первое уравнение:
   $$ (x-y)^2=9, $$
   значит,
   $$x-y=3 \text{ или } x-y=-3.$$

   1) Если $$x-y=3,$$ то $$y=x-3.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$4x^2+x(x-3)+4(x-3)^2=18,$$
   $$9x^2-27x+18=0,$$
   $$x^2-3x+2=0,$$
   $$(x-1)(x-2)=0.$$
   Тогда
   $$x=1 \text{ или } x=2.$$
   Соответственно,
   $$y=-2 \text{ или } y=-1.$$
   Получаем точки $$ (1;-2) $$ и $$ (2;-1). $$

   2) Если $$x-y=-3,$$ то $$y=x+3.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$4x^2+x(x+3)+4(x+3)^2=18,$$
   $$9x^2+27x+18=0,$$
   $$x^2+3x+2=0,$$
   $$(x+1)(x+2)=0.$$
   Тогда
   $$x=-1 \text{ или } x=-2.$$
   Соответственно,
   $$y=2 \text{ или } y=1.$$
   Получаем точки $$ (-1;2) $$ и $$ (-2;1). $$

Ответ

1) $$ (2;3),\ (0;1),\ \left(\frac{3}{2};1\right). $$
2) $$ \left(1;\frac{-3-\sqrt{21}}{2}\right),\ \left(1;\frac{-3+\sqrt{21}}{2}\right),\ (-6;2),\ (0;2). $$
3) $$ \left(1;-\frac{5}{4}\right),\ \left(\frac{-1+\sqrt{14}}{2};\,3-\sqrt{14}\right),\ \left(\frac{-1-\sqrt{14}}{2};\,3+\sqrt{14}\right). $$
4) $$ (-2;1),\ (-1;2),\ (1;-2),\ (2;-1). $$