Упр.12.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) {((x-2)(y+2)=0, x^2+2y^2-3x=5);
2) {(4x^2+y^2-2xy=7, (2x-y)y=y);
3) {((x+4)(y-1)=x^2+5x+4, x^2-y^2-3x+8=0);
4) {(x^2+y^2+2x+2y=23, x^2+y^2+2xy=9).
$$\begin{cases} (x-2)(y+2)=0,\\ x^2+2y^2-3x=5. \end{cases}$$
Из первого уравнения: $$x=2$$ или $$y=-2$$.
1) Если $$x=2$$, то
$$4+2y^2-6=5,$$
$$2y^2=7,$$
$$y^2=\frac{7}{2},$$
$$y=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}.$$2) Если $$y=-2$$, то
$$x^2+2\cdot(-2)^2-3x=5,$$
$$x^2-3x+3=0.$$$$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot3=9-12=-3<0,$$ значит, действительных решений нет.
Следовательно, решения системы:
$$(2;\,-\sqrt{\frac{7}{2}}),\quad (2;\,\sqrt{\frac{7}{2}}).$$
$$\begin{cases} 4x^2+y^2-2xy=7,\\ (2x-y)y=y. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$(2x-y)y=y,$$
$$y(2x-y-1)=0.$$Значит, $$y=0$$ или $$2x-y-1=0$$, то есть $$y=2x-1$$.
1) Если $$y=2x-1$$, то
$$4x^2+(2x-1)^2-2x(2x-1)=7,$$
$$4x^2+4x^2-4x+1-4x^2+2x=7,$$
$$4x^2-2x-6=0,$$
$$2x^2-x-3=0.$$$$D=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25,$$
$$x_1=\frac{1-5}{4}=-1,\quad x_2=\frac{1+5}{4}=\frac{3}{2}.$$При $$x=-1$$: $$y=2(-1)-1=-3.$$
При $$x=\frac{3}{2}$$: $$y=2\cdot\frac{3}{2}-1=2.$$2) Если $$y=0$$, то
$$4x^2=7,$$
$$x=\pm\frac{\sqrt7}{2}.$$Получаем решения:
$$(-1;\,-3),\quad \left(\frac{3}{2};\,2\right),\quad \left(-\frac{\sqrt7}{2};\,0\right),\quad \left(\frac{\sqrt7}{2};\,0\right).$$
$$\begin{cases} (x+4)(y-1)=x^2+5x+4,\\ x^2-y^2-3x+8=0. \end{cases}$$
Преобразуем первое уравнение:
$$x^2+3x+4y-4=x^2+5x+4,$$
$$3x+4y-4=5x+4,$$
$$2x-4y+8=0,$$
$$x-2y+4=0,$$
$$x=2y-4.$$Подставим во второе уравнение:
$$(2y-4)^2-y^2-3(2y-4)+8=0,$$
$$4y^2-16y+16-y^2-6y+12+8=0,$$
$$3y^2-22y+36=0.$$$$D=(-22)^2-4\cdot3\cdot36=484-432=52,$$
$$y=\frac{22\pm\sqrt{52}}{6}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{3}.$$Тогда
$$x=2y-4.$$
При $$y=\frac{11+\sqrt{13}}{3}$$:
$$x=\frac{10+2\sqrt{13}}{3}.$$При $$y=\frac{11-\sqrt{13}}{3}$$:
$$x=\frac{10-2\sqrt{13}}{3}.$$Ответы:
$$\left(\frac{10+2\sqrt{13}}{3};\,\frac{11+\sqrt{13}}{3}\right),\quad \left(\frac{10-2\sqrt{13}}{3};\,\frac{11-\sqrt{13}}{3}\right).$$
$$\begin{cases} x^2+y^2+2x+2y=23,\\ x^2+y^2+2xy=9. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$(x+y)^2=9,$$
$$x+y=3 \text{ или } x+y=-3.$$1) Если $$x+y=3$$, то $$y=3-x$$. Подставим в первое уравнение:
$$x^2+(3-x)^2+2x+2(3-x)=23,$$
$$2x^2-6x-8=0,$$
$$x^2-3x-4=0.$$$$D=25,$$
$$x_1=-1,\quad x_2=4.$$При $$x=-1$$: $$y=4.$$
При $$x=4$$: $$y=-1.$$2) Если $$x+y=-3$$, то $$y=-3-x$$. Подставим в первое уравнение:
$$x^2+(-3-x)^2+2x+2(-3-x)=23,$$
$$2x^2+6x-8=0,$$
$$x^2+3x-4=0.$$$$D=25,$$
$$x_1=-4,\quad x_2=1.$$При $$x=-4$$: $$y=1.$$
При $$x=1$$: $$y=-4.$$Следовательно, решения системы:
$$(-1;\,4),\quad (4;\,-1),\quad (-4;\,1),\quad (1;\,-4).$$
Ответ
1) $$(2;\,-\sqrt{\frac{7}{2}}),\ (2;\,\sqrt{\frac{7}{2}})$$
2) $$(-1;\,-3),\ \left(\frac{3}{2};\,2\right),\ \left(-\frac{\sqrt7}{2};\,0\right),\ \left(\frac{\sqrt7}{2};\,0\right)$$
3) $$\left(\frac{10+2\sqrt{13}}{3};\,\frac{11+\sqrt{13}}{3}\right),\ \left(\frac{10-2\sqrt{13}}{3};\,\frac{11-\sqrt{13}}{3}\right)$$
4) $$(-1;\,4),\ (4;\,-1),\ (-4;\,1),\ (1;\,-4)$$
