Упр.12.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x+y^3=2, 2x+x^2+5y^3=8);
2) {(x^3+y=1, y^3+x^6=(2y-1)^2);
3) {(x^2+y^2=5, y^3+x^2y+y^2=6).

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x+y^3=2,\\ 2x+x^2+5y^3=8. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y^3=2-x. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ 2x+x^2+5(2-x)=8, $$
$$ x^2-3x+2=0, $$
$$ (x-1)(x-2)=0. $$
Тогда $$x=1$$ или $$x=2$$.
Если $$x=1$$, то $$y^3=1$$, значит $$y=1$$.
Если $$x=2$$, то $$y^3=0$$, значит $$y=0$$.
Получаем решения: $$ (1;1) $$ и $$ (2;0) $$.
$$ \begin{cases} x^3+y=1,\\ y^3+x^6=(2y-1)^2. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x^3=1-y. $$
Тогда
$$ x^6=(1-y)^2. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ y^3+(1-y)^2=(2y-1)^2. $$
Раскроем скобки:
$$ y^3+1-2y+y^2=4y^2-4y+1, $$
$$ y^3-3y^2+2y=0, $$
$$ y(y^2-3y+2)=0, $$
$$ y(y-1)(y-2)=0. $$
Отсюда $$y=0$$, $$y=1$$ или $$y=2$$.
Найдём соответствующие значения $$x$$:
при $$y=0$$: $$x^3=1$$, значит $$x=1$$;
при $$y=1$$: $$x^3=0$$, значит $$x=0$$;
при $$y=2$$: $$x^3=-1$$, значит $$x=-1$$.
Получаем решения: $$ (1;0) $$, $$ (0;1) $$, $$ (-1;2) $$.
$$ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ y^3+x^2y+y^2=6. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x^2=5-y^2. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ y^3+y(5-y^2)+y^2=6, $$
$$ y^3+5y-y^3+y^2=6, $$
$$ y^2+5y-6=0, $$
$$ (y+6)(y-1)=0. $$
Значит, $$y=-6$$ или $$y=1$$.
Если $$y=-6$$, то $$x^2=5-36=-31$$, что невозможно для действительных чисел.
Если $$y=1$$, то $$x^2=5-1=4$$, значит $$x=\pm 2$$.
Получаем решения: $$ (-2;1) $$ и $$ (2;1) $$.