Упр.12.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\begin{cases} x+y^3=2,\\ 2x+x^2+5y^3=8; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} x^3+y=1,\\ y^3+x^6=(2y-1)^2; \end{cases}$$
3. $$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ y^3+x^2y+y^2=6. \end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x+y^3=2,\\ 2x+x^2+5y^3=8. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$y^3=2-x.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$2x+x^2+5(2-x)=8,$$

   $$x^2-3x+2=0,$$

   $$(x-1)(x-2)=0.$$

   Тогда $$x=1$$ или $$x=2$$.

   Если $$x=1$$, то $$y^3=1$$, значит $$y=1$$.

   Если $$x=2$$, то $$y^3=0$$, значит $$y=0$$.

   Получаем решения: $$(1;1)$$ и $$(2;0)$$.

2. $$\begin{cases} x^3+y=1,\\ y^3+x^6=(2y-1)^2. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$x^3=1-y.$$

   Тогда

   $$x^6=(1-y)^2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$y^3+(1-y)^2=(2y-1)^2.$$

   Раскроем скобки:

   $$y^3+1-2y+y^2=4y^2-4y+1,$$

   $$y^3-3y^2+2y=0,$$

   $$y(y^2-3y+2)=0,$$

   $$y(y-1)(y-2)=0.$$

   Отсюда $$y=0$$, $$y=1$$ или $$y=2$$.

   Найдём соответствующие значения $$x$$:

   при $$y=0$$: $$x^3=1$$, значит $$x=1$$;

   при $$y=1$$: $$x^3=0$$, значит $$x=0$$;

   при $$y=2$$: $$x^3=-1$$, значит $$x=-1$$.

   Получаем решения: $$(1;0)$$, $$(0;1)$$, $$(-1;2)$$.

3. $$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ y^3+x^2y+y^2=6. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$x^2=5-y^2.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$y^3+y(5-y^2)+y^2=6,$$

   $$y^3+5y-y^3+y^2=6,$$

   $$y^2+5y-6=0,$$

   $$(y+6)(y-1)=0.$$

   Значит, $$y=-6$$ или $$y=1$$.

   Если $$y=-6$$, то $$x^2=5-36=-31$$, что невозможно для действительных чисел.

   Если $$y=1$$, то $$x^2=5-1=4$$, значит $$x=\pm 2$$.

   Получаем решения: $$(-2;1)$$ и $$(2;1)$$.

Ответ

1) $$(1;1),\ (2;0)$$; 2) $$(1;0),\ (0;1),\ (-1;2)$$; 3) $$(-2;1),\ (2;1)$$.