Упр.12.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x+y^2=2, 2y^2+x^2=3);
2) {(x+y^2=3, x^4+y^4+6x=29);
3) {(x^2-y^2=2, x^3-xy^2+x^2=3).

1. $$\begin{cases} x+y^2=2,\\ 2y^2+x^2=3. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y^2=2-x.$$
   Подставим во второе:
   $$2(2-x)+x^2=3,$$
   $$x^2-2x+1=0,$$
   $$\left(x-1\right)^2=0,$$
   $$x=1.$$
   Тогда
   $$y^2=2-1=1,$$
   $$y=\pm 1.$$
   Получаем решения:
   $$\left(1;-1\right),\ \left(1;1\right).$$

2. $$\begin{cases} x+y^2=3,\\ x^4+y^4+6x=29. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y^2=3-x.$$
   Подставим во второе:
   $$x^4+\left(3-x\right)^2+6x=29,$$
   $$x^4+9-6x+x^2+6x=29,$$
   $$x^4+x^2-20=0.$$
   Обозначим $$t=x^2$$. Тогда
   $$t^2+t-20=0,$$
   $$\left(t-4\right)\left(t+5\right)=0.$$
   Так как $$t=x^2\ge 0,$$ получаем
   $$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
   Найдём $$y$$:
   
   при $$x=2$$:
   $$y^2=3-2=1,\quad y=\pm 1;$$
   при $$x=-2$$:
   $$y^2=3-(-2)=5,\quad y=\pm \sqrt5.$$
   Следовательно,
   $$\left(-2;-\sqrt5\right),\ \left(-2;\sqrt5\right),\ \left(2;-1\right),\ \left(2;1\right).$$

3. $$\begin{cases} x^2-y^2=2,\\ x^3-xy^2+x^2=3. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y^2=x^2-2.$$
   Подставим во второе:
   $$x^3-x\left(x^2-2\right)+x^2=3,$$
   $$x^3-x^3+2x+x^2=3,$$
   $$x^2+2x-3=0,$$
   $$\left(x+3\right)\left(x-1\right)=0.$$
   Тогда
   $$x=-3 \quad \text{или} \quad x=1.$$
   Проверим:
   
   при $$x=-3$$:
   $$y^2=9-2=7,\quad y=\pm \sqrt7;$$
   при $$x=1$$:
   $$y^2=1-2=-1,$$
   действительных значений $$y$$ нет.
   Значит, решения:
   $$\left(-3;-\sqrt7\right),\ \left(-3;\sqrt7\right).$$

Ответ

1) $$\left(1;-1\right),\ \left(1;1\right);$$
2) $$\left(-2;-\sqrt5\right),\ \left(-2;\sqrt5\right),\ \left(2;-1\right),\ \left(2;1\right);$$
3) $$\left(-3;-\sqrt7\right),\ \left(-3;\sqrt7\right).$$