Упр.12.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

1. $$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{2},\\x-y=1;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}\frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1},\\\frac{4}{x+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3};\end{cases}$$
3. $$\begin{cases}\frac{4}{x-1}-\frac{5}{y+1}=1,\\\frac{4}{x+5}=\frac{2}{y}.\end{cases}$$

1. Из второго уравнения получаем $$y=x-1.$$ Подставим в первое:

   $$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{3}{2}$$
   $$2(x-1)+2x=3x(x-1)$$
   $$4x-2=3x^2-3x$$
   $$3x^2-7x+2=0$$

   $$D=49-24=25$$
   $$x_1=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}, \quad x_2=\frac{7+5}{6}=2$$

   Тогда
   $$y_1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}, \quad y_2=2-1=1.$$

   Ответ: $$\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right), \ (2;1).$$

2. Из первого уравнения:

   $$\frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1}$$
   $$x-1=2(y+1)$$
   $$x=2y+3$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$\frac{4}{x+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3}$$
   $$\frac{4}{2y+5}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3}$$
   $$3(y-1)(2y+5)$$
   $$12(y-1)+3(2y+5)=(y-1)(2y+5)$$
   $$12y-12+6y+15=2y^2+3y-5$$
   $$2y^2-15y-8=0$$

   $$D=225+64=289$$
   $$y_1=\frac{15-17}{4}=-\frac{1}{2}, \quad y_2=\frac{15+17}{4}=8$$

   Тогда
   $$x_1=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3=2, \quad x_2=2\cdot 8+3=19.$$

   Ответ: $$\left(2;-\frac{1}{2}\right), \ (19;8).$$

3. Из второго уравнения:

   $$\frac{4}{x+5}=\frac{2}{y}$$
   $$4y=2(x+5)$$
   $$2y=x+5$$
   $$x=2y-5$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\frac{4}{x-1}-\frac{5}{y+1}=1$$
   $$\frac{4}{2y-6}-\frac{5}{y+1}=1$$
   $$\frac{2}{y-3}-\frac{5}{y+1}=1$$
   $$2(y+1)-5(y-3)=(y-3)(y+1)$$
   $$2y+2-5y+15=y^2-2y-3$$
   $$y^2+y-20=0$$

   $$D=81$$
   $$y_1=\frac{-1-9}{2}=-5, \quad y_2=\frac{-1+9}{2}=4$$

   Тогда
   $$x_1=2\cdot(-5)-5=-15, \quad x_2=2\cdot 4-5=3.$$

   Ответ: $$(-15;-5), \ (3;4).$$