Упр.12.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(1/x+1/y=3/2, x-y=1);
2) {(1/(y+1)=2/(x-1), 4/(x+2)+1/(y-1)=1/3);
3) {(4/(x-1)-5/(y+1)=1, 4/(x+5)=2/y).

1. Из второго уравнения получаем $$y=x-1.$$ Подставим в первое:

   $$ \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=\frac{3}{2} $$
   $$ 2(x-1)+2x=3x(x-1) $$
   $$ 4x-2=3x^2-3x $$
   $$ 3x^2-7x+2=0 $$

   $$ D=49-24=25 $$
   $$ x_1=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}, \quad x_2=\frac{7+5}{6}=2 $$

   Тогда
   $$ y_1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}, \quad y_2=2-1=1. $$

   Ответ: $$\left(\frac{1}{3};-\frac{2}{3}\right), \ (2;1).$$

2. Из первого уравнения:

   $$ \frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1} $$
   $$ x-1=2(y+1) $$
   $$ x=2y+3 $$

   Подставим во второе уравнение:

   $$ \frac{4}{x+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3} $$
   $$ \frac{4}{2y+5}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3} $$
   $$ 3(y-1)(2y+5) $$
   $$ 12(y-1)+3(2y+5)=(y-1)(2y+5) $$
   $$ 12y-12+6y+15=2y^2+3y-5 $$
   $$ 2y^2-15y-8=0 $$

   $$ D=225+64=289 $$
   $$ y_1=\frac{15-17}{4}=-\frac{1}{2}, \quad y_2=\frac{15+17}{4}=8 $$

   Тогда
   $$ x_1=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3=2, \quad x_2=2\cdot 8+3=19. $$

   Ответ: $$\left(2;-\frac{1}{2}\right), \ (19;8).$$

3. Из второго уравнения:

   $$ \frac{4}{x+5}=\frac{2}{y} $$
   $$ 4y=2(x+5) $$
   $$ 2y=x+5 $$
   $$ x=2y-5 $$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ \frac{4}{x-1}-\frac{5}{y+1}=1 $$
   $$ \frac{4}{2y-6}-\frac{5}{y+1}=1 $$
   $$ \frac{2}{y-3}-\frac{5}{y+1}=1 $$
   $$ 2(y+1)-5(y-3)=(y-3)(y+1) $$
   $$ 2y+2-5y+15=y^2-2y-3 $$
   $$ y^2+y-20=0 $$

   $$ D=81 $$
   $$ y_1=\frac{-1-9}{2}=-5, \quad y_2=\frac{-1+9}{2}=4 $$

   Тогда
   $$ x_1=2\cdot(-5)-5=-15, \quad x_2=2\cdot 4-5=3. $$

   Ответ: $$(-15;-5), \ (3;4).$$