Упр.12.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(1/x-1/y=1/12, 2x-y=2);
2) {((3x+y)/(x-1)-(x-y)/(2y)=2, x-y=4);
3) {(2/(y-1)+3/(x+1)=5/2, 1/(x-1)=-3/y).

Подробный ответ

$$\begin{cases} \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12},\\ 2x-y=2 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=2x-2=2(x-1).$$
Подставим в первое:
$$\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2(x-1)}=\dfrac{1}{12}.$$
Умножим на $$12x(x-1)$$:
$$12(x-1)-6x=x(x-1).$$
$$12x-12-6x=x^2-x.$$
$$x^2-7x+12=0.$$
$$\left(x-3\right)\left(x-4\right)=0,$$
значит,
$$x=3 \text{ или } x=4.$$
Тогда
$$y=2x-2,$$
откуда
$$y=4 \text{ или } y=6.$$
Получаем пары:
$$(3;4),\ (4;6).$$
$$\begin{cases} \dfrac{3x+y}{x-1}-\dfrac{x-y}{2y}=2,\\ x-y=4 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=x-4.$$
Подставим в первое:
$$\dfrac{3x+x-4}{x-1}-\dfrac{x-(x-4)}{2(x-4)}=2,$$
$$\dfrac{4x-4}{x-1}-\dfrac{4}{2(x-4)}=2,$$
$$4-\dfrac{2}{x-4}=2.$$
Тогда
$$\dfrac{2}{x-4}=2,$$
$$x-4=1,$$
$$x=5.$$
Найдём $$y$$:
$$y=5-4=1.$$
Проверка области допустимых значений:
$$x\ne 1,\quad y\ne 0,$$
найденная пара подходит.
Ответ:
$$(5;1).$$
$$\begin{cases} \dfrac{2}{y-1}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{5}{2},\\ \dfrac{1}{x-1}=-\dfrac{3}{y} \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=-3(x-1)=3-3x.$$
Подставим в первое:
$$\dfrac{2}{(3-3x)-1}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{5}{2},$$
$$\dfrac{2}{2-3x}+\dfrac{3}{x+1}=\dfrac{5}{2}.$$
Умножим на $$2(2-3x)(x+1)$$:
$$4(x+1)+6(2-3x)=5(2-3x)(x+1).$$
$$4x+4+12-18x=5(2x+2-3x^2-3x),$$
$$16-14x=10x+10-15x^2.$$
$$15x^2-24x+6=0,$$
$$5x^2-8x+2=0.$$
$$D=64-40=24,$$
$$x=\dfrac{8\pm\sqrt{24}}{10}=\dfrac{4\pm\sqrt{6}}{5}.$$
Тогда
$$y=3-3x.$$
Получаем:
$$y=3-3\cdot\dfrac{4+\sqrt6}{5}=\dfrac{3-3\sqrt6}{5},$$
$$y=3-3\cdot\dfrac{4-\sqrt6}{5}=\dfrac{3+3\sqrt6}{5}.$$
Проверка ОДЗ:
$$x\ne 1,\quad x\ne -1,\quad y\ne 0,\quad y\ne 1.$$
Оба решения подходят.