Упр.12.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Постройте график функции $$y=\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-1}}-\sqrt{x-1}$$.

Преобразуем выражение под корнем:

$$y=\sqrt{2x+2\sqrt{x^2-1}}-\sqrt{x-1}$$
$$2x+2\sqrt{x^2-1}=x+1+x-1+2\sqrt{(x+1)(x-1)}=(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2$$

Тогда

$$y=\sqrt{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})^2}-\sqrt{x-1}$$

Так как при $$x\ge 1$$ выражение $$\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\ge 0$$, получаем:

$$y=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=\sqrt{x+1}$$

Найдём область определения исходной функции:

$$x-1\ge 0$$
$$x\ge 1$$

Значит, нужно построить график функции $$y=\sqrt{x+1}$$ при $$x\ge 1$$. Это часть графика корня, начиная с точки $$\left(1;\sqrt2\right)$$.

Ответ

$$y=\sqrt{x+1},\quad x\ge 1$$