Упр.12.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 12.23. Найдите решения неравенства |x+2|(x^2-a^2) > 0 в зависимости от значения параметра a.

Подробный ответ

Рассмотрим неравенство

$$|x+2|(x^2-a^2)>0.$$

Так как $$|x+2|\ge 0,$$ то произведение будет положительным тогда и только тогда, когда

$$|x+2|>0 \quad \text{и} \quad x^2-a^2>0.$$

Из условия $$|x+2|>0$$ получаем

$$x\ne -2.$$

Решим второе неравенство:

$$x^2-a^2>0$$

$$ (x-a)(x+a)>0.$$

Отсюда

$$x<-|a| \quad \text{или} \quad x>|a|.$$

Теперь исключим точку $$x=-2$$ из найденного множества решений. Получаем разные случаи в зависимости от значения параметра $$a$$.

Если $$a\le -2,$$ то $$|a|\ge 2,$$ и точка $$-2$$ не попадает в промежуток $$(-|a|,|a|).$$ Тогда
$$x\in(-\infty;a)\cup(-a;+\infty).$$
Если $$-2<a<0,$$ то $$|a|=-a<2,$$ и точка $$-2$$ лежит в левом промежутке. Тогда
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;a)\cup(-a;+\infty).$$
Если $$a=0,$$ то
$$x^2>0,$$
значит
$$x\ne 0,$$
и с учётом $$x\ne -2$$ получаем
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(0;+\infty).$$
Если $$0<a<2,$$ то $$|a|=a<2,$$ и точка $$-2$$ снова попадает в левый промежуток. Тогда
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;-a)\cup(a;+\infty).$$
Если $$a\ge 2,$$ то $$|a|\ge 2,$$ и точка $$-2$$ не влияет на решение. Тогда
$$x\in(-\infty;-a)\cup(a;+\infty).$$