Упр.12.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

{(x^3+4y=y^3+16x, (1+y^2)/(1+x^2)=5).

Из второго уравнения системы получаем:

$$\frac{1+y^2}{1+x^2}=5$$

$$1+y^2=5(1+x^2)$$

$$y^2=4+5x^2.$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$x^3+4y=y^3+16x$$

$$x^3+4y=y(4+5x^2)+16x$$

$$x^3+4y=4y+5yx^2+16x$$

$$5yx^2=x^3-16x$$

$$5yx=x^2-16 \quad (x\ne 0).$$

Если $$x=0$$, то из $$y^2=4+5x^2$$ получаем:

$$y^2=4,$$

$$y=\pm 2.$$

Проверим случай $$x\ne 0$$. Тогда

$$y=\frac{x^2-16}{5x}.$$

Подставим в уравнение $$y^2=4+5x^2$$:

$$\left(\frac{x^2-16}{5x}\right)^2=4+5x^2$$

$$\left(x^2-16\right)^2=25x^2(4+5x^2)$$

$$x^4-32x^2+256=100x^2+125x^4$$

$$124x^4+132x^2-256=0$$

$$31x^4+33x^2-64=0.$$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда

$$31t^2+33t-64=0.$$

$$D=33^2+4\cdot 31\cdot 64=9025,$$

$$t_1=\frac{-33-95}{62}=-\frac{128}{62}<0,\qquad t_2=\frac{-33+95}{62}=1.$$

Так как $$t=x^2\ge 0$$, то подходит только $$x^2=1$$, откуда

$$x=\pm 1.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

при $$x=1$$

$$y=\frac{1-16}{5\cdot 1}=-3,$$

при $$x=-1$$

$$y=\frac{1-16}{5\cdot (-1)}=3.$$

Получаем также решения при $$x=0$$:

$$y=2,\quad y=-2.$$

Ответ

$$(0;-2),\ (0;2),\ (-1;3),\ (1;-3).$$