Упр.12.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases}\dfrac{x(y^2+1)}{x^2+y^2}=\dfrac{3}{5},\\[4pt]\dfrac{y(x^2-1)}{x^2+y^2}=\dfrac{4}{5}.\end{cases}$$

Обозначим систему:

$$\begin{cases} \dfrac{x(y^2+1)}{x^2+y^2}=\dfrac35,\\[4pt] \dfrac{y(x^2-1)}{x^2+y^2}=\dfrac45. \end{cases}$$

Умножим первое уравнение на $$x$$, а второе — на $$y$$:

$$\begin{cases} \dfrac{x^2(y^2+1)}{x^2+y^2}=\dfrac{3x}{5},\\[4pt] \dfrac{y^2(x^2-1)}{x^2+y^2}=\dfrac{4y}{5}. \end{cases}$$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$\dfrac{x^2(y^2+1)-y^2(x^2-1)}{x^2+y^2}=\dfrac{3x-4y}{5}.$$

Упростим числитель:

$$x^2y^2+x^2-y^2x^2+y^2=x^2+y^2.$$

Тогда

$$\dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{3x-4y}{5},$$

откуда

$$3x-4y=5.$$

Выразим $$x$$:

$$x=\dfrac{4y+5}{3}.$$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$$\dfrac{x(y^2+1)}{y(x^2-1)}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac34.$$

После преобразования получаем:

$$3y(x^2-1)=4x(y^2+1).$$

Подставим $$x=\dfrac{4y+5}{3}$$:

$$3y\left(\left(\dfrac{4y+5}{3}\right)^2-1\right)=4\cdot \dfrac{4y+5}{3}(y^2+1).$$

Упростим:

$$3y\left(\dfrac{16y^2+40y+25-9}{9}\right)=\dfrac{4(4y+5)(y^2+1)}{3}.$$

$$3y\cdot \dfrac{16y^2+40y+16}{9}=\dfrac{4(4y+5)(y^2+1)}{3}.$$

Умножим на $$3$$:

$$y(16y^2+40y+16)=4(4y+5)(y^2+1).$$

Раскроем скобки:

$$16y^3+40y^2+16y=16y^3+20y^2+16y+20.$$

$$20y^2=20,$$

$$y^2=1.$$

Следовательно, $$y=1$$ или $$y=-1$$.

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$x=\dfrac{4y+5}{3}.$$

Если $$y=1$$, то

$$x=\dfrac{4\cdot 1+5}{3}=3.$$

Если $$y=-1$$, то

$$x=\dfrac{4\cdot (-1)+5}{3}=\dfrac13.$$

Проверка подстановкой показывает, что оба решения подходят.

Ответ

$$\left(\dfrac13,-1\right),\ (3,1)$$