Упр.12.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

{(x(y^2+1)/(x^2+y^2)=3/5, y(x^2-1)/(x^2+y^2)=4/5).

Обозначим систему:

$$ \begin{cases} \dfrac{x(y^2+1)}{x^2+y^2}=\dfrac35,\\[4pt] \dfrac{y(x^2-1)}{x^2+y^2}=\dfrac45. \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на $$x$$, а второе — на $$y$$:

$$ \begin{cases} \dfrac{x^2(y^2+1)}{x^2+y^2}=\dfrac{3x}{5},\\[4pt] \dfrac{y^2(x^2-1)}{x^2+y^2}=\dfrac{4y}{5}. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$ \dfrac{x^2(y^2+1)-y^2(x^2-1)}{x^2+y^2}=\dfrac{3x-4y}{5}. $$

Упростим числитель:

$$ x^2y^2+x^2-y^2x^2+y^2=x^2+y^2. $$

Тогда

$$ \dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{3x-4y}{5}, $$

откуда

$$ 3x-4y=5. $$

Выразим $$x$$:

$$ x=\dfrac{4y+5}{3}. $$

Теперь разделим первое уравнение системы на второе:

$$ \dfrac{x(y^2+1)}{y(x^2-1)}=\dfrac{3/5}{4/5}=\dfrac34. $$

После преобразования получаем:

$$ 3y(x^2-1)=4x(y^2+1). $$

Подставим $$x=\dfrac{4y+5}{3}$$:

$$ 3y\left(\left(\dfrac{4y+5}{3}\right)^2-1\right)=4\cdot \dfrac{4y+5}{3}(y^2+1). $$

Упростим:

$$ 3y\left(\dfrac{16y^2+40y+25-9}{9}\right)=\dfrac{4(4y+5)(y^2+1)}{3}. $$

$$ 3y\cdot \dfrac{16y^2+40y+16}{9}=\dfrac{4(4y+5)(y^2+1)}{3}. $$

Умножим на $$3$$:

$$ y(16y^2+40y+16)=4(4y+5)(y^2+1). $$

Раскроем скобки:

$$ 16y^3+40y^2+16y=16y^3+20y^2+16y+20. $$

$$ 20y^2=20, $$

$$ y^2=1. $$

Следовательно, $$y=1$$ или $$y=-1$$.

Найдём соответствующие значения $$x$$:

$$ x=\dfrac{4y+5}{3}. $$

Если $$y=1$$, то

$$ x=\dfrac{4\cdot 1+5}{3}=3. $$

Если $$y=-1$$, то

$$ x=\dfrac{4\cdot (-1)+5}{3}=\dfrac13. $$

Проверка подстановкой показывает, что оба решения подходят.

Ответ

$$ \left(\dfrac13,-1\right),\ (3,1) $$