Упр.12.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^4+4y^4=5, x^2-2xy+2y^2=1);
2) {(y^2=x-2, x^4+y^4=82).

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$ \begin{cases} x^4+4y^4=5,\\ x^2-2xy+2y^2=1. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=5, $$
$$ (x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=5, $$
$$ (x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)=5. $$
Так как $$x^2-2xy+2y^2=1,$$ то
$$ x^2+2xy+2y^2=5. $$
Вычтем второе уравнение из полученного:
$$ 4xy=4,\qquad xy=1. $$
Тогда $$y=\dfrac{1}{x}.$$ Подставим во второе уравнение:
$$ x^2-2+2\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=1. $$
Умножим на $$x^2$$:
$$ x^4-3x^2+2=0. $$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$ t^2-3t+2=0, $$
$$ (t-1)(t-2)=0. $$
Отсюда $$x^2=1$$ или $$x^2=2$$, значит
$$ x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm \sqrt{2}. $$
Так как $$xy=1,$$ получаем соответствующие значения $$y$$:
$$ (-1,-1),\ (1,1),\ \left(-\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\ \left(\sqrt{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right). $$
Решим вторую систему:
$$ \begin{cases} y^2=x-2,\\ x^4+y^4=82. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ y^2=x-2,\qquad x\ge 2. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x^4+(x-2)^2=82. $$
Раскроем скобки:
$$ x^4+x^2-4x+4=82, $$
$$ x^4+x^2-4x-78=0. $$
Проверим целые значения, удовлетворяющие $$x\ge 2$$. При $$x=3$$:
$$ 3^4+3^2-4\cdot 3-78=81+9-12-78=0. $$
Значит, $$x=3.$$ Тогда
$$ y^2=3-2=1,\qquad y=\pm 1. $$
Получаем решения:
$$ (3,-1),\ (3,1). $$