Упр.12.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}x^4+4y^4=5,\\x^2-2xy+2y^2=1;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}y^2=x-2,\\x^4+y^4=82.\end{cases}$$

Подробный ответ

Решим первую систему:
$$\begin{cases} x^4+4y^4=5,\\ x^2-2xy+2y^2=1. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x^4+4x^2y^2+4y^4-4x^2y^2=5,$$
$$(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2=5,$$
$$(x^2+2y^2-2xy)(x^2+2y^2+2xy)=5.$$
Так как $$x^2-2xy+2y^2=1,$$ то
$$x^2+2xy+2y^2=5.$$
Вычтем второе уравнение из полученного:
$$4xy=4,\qquad xy=1.$$
Тогда $$y=\dfrac{1}{x}.$$ Подставим во второе уравнение:
$$x^2-2+2\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=1.$$
Умножим на $$x^2$$:
$$x^4-3x^2+2=0.$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда
$$t^2-3t+2=0,$$
$$(t-1)(t-2)=0.$$
Отсюда $$x^2=1$$ или $$x^2=2$$, значит
$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad x=\pm \sqrt{2}.$$
Так как $$xy=1,$$ получаем соответствующие значения $$y$$:
$$(-1,-1),\ (1,1),\ \left(-\sqrt{2},-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right),\ \left(\sqrt{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right).$$
Решим вторую систему:
$$\begin{cases} y^2=x-2,\\ x^4+y^4=82. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y^2=x-2,\qquad x\ge 2.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^4+(x-2)^2=82.$$
Раскроем скобки:
$$x^4+x^2-4x+4=82,$$
$$x^4+x^2-4x-78=0.$$
Проверим целые значения, удовлетворяющие $$x\ge 2$$. При $$x=3$$:
$$3^4+3^2-4\cdot 3-78=81+9-12-78=0.$$
Значит, $$x=3.$$ Тогда
$$y^2=3-2=1,\qquad y=\pm 1.$$
Получаем решения:
$$(3,-1),\ (3,1).$$