Упр.12.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   
   1) $$\begin{cases} x^4+x^2y^2+y^4=21, \\ x^2-xy+y^2=7; \end{cases}$$
   
   2) $$\begin{cases} x^2=2y-1, \\ x^4+y^4=2. \end{cases}$$

1. Решим первую систему:

   $$\begin{cases} x^4+x^2y^2+y^4=21,\\ x^2-xy+y^2=7. \end{cases}$$

   Преобразуем первое уравнение:

   $$x^4+2x^2y^2+y^4-x^2y^2=21,$$

   $$(x^2+y^2)^2-(xy)^2=21,$$

   $$(x^2+y^2-xy)(x^2+y^2+xy)=21.$$

   Так как $$x^2-xy+y^2=7$$, то

   $$7(x^2+y^2+xy)=21,$$

   $$x^2+xy+y^2=3.$$

   Вычтем второе уравнение из полученного:

   $$(x^2+xy+y^2)-(x^2-xy+y^2)=3-7,$$

   $$2xy=-4,$$

   $$xy=-2.$$

   Тогда из $$x^2-xy+y^2=7$$ получаем:

   $$x^2+2+y^2=7,$$

   $$x^2+y^2=5.$$

   Имеем систему:

   $$\begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=-2. \end{cases}$$

   Тогда числа $$x^2$$ и $$y^2$$ — корни уравнения

   $$t^2-5t+4=0,$$

   откуда

   $$t_1=1,\quad t_2=4.$$

   Значит, $$\{x^2,y^2\}=\{1,4\}$$, а с учётом $$xy=-2$$ получаем:

   $$(x,y)=(-1,2),\ (1,-2),\ (-2,1),\ (2,-1).$$

2. Решим вторую систему:

   $$\begin{cases} x^2=2y-1,\\ x^4+y^4=2. \end{cases}$$

   Из первого уравнения:

   $$x^2=2y-1,\qquad 2y-1\ge 0,\qquad y\ge \frac12.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$(2y-1)^2+y^4=2,$$

   $$4y^2-4y+1+y^4=2,$$

   $$y^4+4y^2-4y-1=0.$$

   Разложим на множители:

   $$(y-1)(y+1)(y^2+1)+4y(y-1)=0,$$

   $$(y-1)\bigl((y+1)(y^2+1)+4y\bigr)=0.$$

   Отсюда с учётом $$y\ge \frac12$$ получаем $$y=1$$.

   Тогда

   $$x^2=2\cdot 1-1=1,$$

   $$x=\pm 1.$$

   Следовательно, решения второй системы:

   $$(-1,1),\ (1,1).$$

Ответ

1) $$(-1,2),\ (1,-2),\ (-2,1),\ (2,-1)$$

2) $$(-1,1),\ (1,1)$$