Упр.12.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений $$\begin{cases}(x^2+y^2-xy)(x-y)=1+y^3,\\(x^2+y^2+xy)(x+y)=1-y^3.\end{cases}$$

Перемножим уравнения системы:

$$(x^2+y^2-xy)(x-y)\cdot (x^2+y^2+xy)(x+y)=(1+y^3)(1-y^3).$$

Используем формулы:

$$(x^2+y^2-xy)(x+y)=x^3+y^3,$$

$$(x^2+y^2+xy)(x-y)=x^3-y^3.$$

Тогда

$$(x^3-y^3)(x^3+y^3)=1-y^6,$$

$$x^6-y^6=1-y^6,$$

$$x^6=1.$$

Следовательно,

$$x=\pm 1.$$

1) Пусть $$x=1$$. Подставим в первое уравнение:

$$(1+y^2-y)(1-y)=1+y^3.$$

Разложим на множители:

$$(1-y)(y^2-y+1)=(1-y)(1+y+y^2).$$

Если $$y=1$$, то левая часть равна $$0$$, а правая — $$2$$, значит, это не подходит. Поэтому можно сократить на $$1-y$$:

$$y^2-y+1=1+y+y^2.$$

Отсюда

$$— y = y,$$

$$2y=0,$$

$$y=0.$$

Проверка: $$x=1,\ y=0$$ подходит.

2) Пусть $$x=-1$$. Подставим в первое уравнение:

$$(1+y^2+y)(y+1)=1+y^3.$$

Разложим:

$$(y+1)(y^2+y+1)=(1+y)(1-y+y^2).$$

Сократим на $$y+1$$:

$$y^2+y+1=1-y+y^2.$$

Тогда

$$2y=0,$$

$$y=0.$$

Но при $$x=-1,\ y=0$$ первое уравнение даёт

$$(1)(-1)=1,$$

что неверно. Значит, $$x=-1$$ не подходит.

Ответ

$$(1;\,0)$$