Упр.12.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

{((x^2+y^2-xy)(x-y)=1+y^3, (x^2+y^2+xy)(x+y)=1-y^3).

Перемножим уравнения системы:

$$ (x^2+y^2-xy)(x-y)\cdot (x^2+y^2+xy)(x+y)=(1+y^3)(1-y^3). $$

Используем формулы:

$$ (x^2+y^2-xy)(x+y)=x^3+y^3, $$

$$ (x^2+y^2+xy)(x-y)=x^3-y^3. $$

Тогда

$$ (x^3-y^3)(x^3+y^3)=1-y^6, $$

$$ x^6-y^6=1-y^6, $$

$$ x^6=1. $$

Следовательно,

$$ x=\pm 1. $$

1) Пусть $$x=1$$. Подставим в первое уравнение:

$$ (1+y^2-y)(1-y)=1+y^3. $$

Разложим на множители:

$$ (1-y)(y^2-y+1)=(1-y)(1+y+y^2). $$

Если $$y=1$$, то левая часть равна $$0$$, а правая — $$2$$, значит, это не подходит. Поэтому можно сократить на $$1-y$$:

$$ y^2-y+1=1+y+y^2. $$

Отсюда

$$ — y = y, $$

$$ 2y=0, $$

$$ y=0. $$

Проверка: $$x=1,\ y=0$$ подходит.

2) Пусть $$x=-1$$. Подставим в первое уравнение:

$$ (1+y^2+y)(y+1)=1+y^3. $$

Разложим:

$$ (y+1)(y^2+y+1)=(1+y)(1-y+y^2). $$

Сократим на $$y+1$$:

$$ y^2+y+1=1-y+y^2. $$

Тогда

$$ 2y=0, $$

$$ y=0. $$

Но при $$x=-1,\ y=0$$ первое уравнение даёт

$$ (1)(-1)=1, $$

что неверно. Значит, $$x=-1$$ не подходит.

Ответ

$$ (1;\,0) $$