Упр.12.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

{((x^2-2xy+2y^2)(x^2+2y^2)=1+4y^4, (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2y^2)=1-4y^4).

Перемножим уравнения системы:

$$ (x^2-2xy+2y^2)(x^2+2y^2)\cdot (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2y^2)=(1+4y^4)(1-4y^4). $$

Сгруппируем множители:

$$ \bigl((x^2+2y^2)^2-4x^2y^2\bigr)(x^4-4y^4)=1-16y^8. $$

Так как

$$ (x^2+2y^2)^2-4x^2y^2=x^4+4y^4, $$

получаем:

$$ (x^4+4y^4)(x^4-4y^4)=1-16y^8. $$

Отсюда

$$ x^8-16y^8=1-16y^8, $$

$$ x^8=1, $$

$$ x=\pm 1. $$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$ (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2y^2)=1-4y^4. $$

При $x=\pm 1$ имеем $x^2=1$, поэтому

$$ (1\pm 2y+2y^2)(1-2y^2)=1-4y^4. $$

Правая часть раскладывается так:

$$ 1-4y^4=(1-2y^2)(1+2y^2). $$

Тогда

$$ (1\pm 2y+2y^2)(1-2y^2)=(1-2y^2)(1+2y^2). $$

Если $1-2y^2\neq 0$, сокращаем на этот множитель:

$$ 1\pm 2y+2y^2=1+2y^2, $$

$$ \pm 2y=0, $$

$$ y=0. $$

Проверка показывает, что при $y=0$ подходят оба значения $x=\pm 1$.

Ответ

$$ (-1;0),\ (1;0) $$