Упр.12.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений $$\begin{cases}(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2y^2)=1+4y^4,\\(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2y^2)=1-4y^4.\end{cases}$$

Перемножим уравнения системы:

$$(x^2-2xy+2y^2)(x^2+2y^2)\cdot (x^2+2xy+2y^2)(x^2-2y^2)=(1+4y^4)(1-4y^4).$$

Сгруппируем множители:

$$\bigl((x^2+2y^2)^2-4x^2y^2\bigr)(x^4-4y^4)=1-16y^8.$$

Так как

$$(x^2+2y^2)^2-4x^2y^2=x^4+4y^4,$$

получаем:

$$(x^4+4y^4)(x^4-4y^4)=1-16y^8.$$

Отсюда

$$x^8-16y^8=1-16y^8,$$

$$x^8=1,$$

$$x=\pm 1.$$

Подставим это во второе уравнение системы:

$$(x^2+2xy+2y^2)(x^2-2y^2)=1-4y^4.$$

При $$x=\pm 1$$ имеем $$x^2=1$$, поэтому

$$(1\pm 2y+2y^2)(1-2y^2)=1-4y^4.$$

Правая часть раскладывается так:

$$1-4y^4=(1-2y^2)(1+2y^2).$$

Тогда

$$(1\pm 2y+2y^2)(1-2y^2)=(1-2y^2)(1+2y^2).$$

Если $$1-2y^2\neq 0$$, сокращаем на этот множитель:

$$1\pm 2y+2y^2=1+2y^2,$$

$$\pm 2y=0,$$

$$y=0.$$

Проверка показывает, что при $$y=0$$ подходят оба значения $$x=\pm 1$$.

Ответ

$$(-1;0),\ (1;0)$$