Упр.12.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}x^2y+6=\frac{y^3}{x^2},\\x^2y-1=\frac{4x^4}{y^2};\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}2x^8=x^4y^4+1,\\3y^8=x^4y^4+2.\end{cases}$$

1. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x^2y+6=\dfrac{y^3}{x^2},\\ x^2y-1=\dfrac{4x^4}{y^2}. \end{cases}$$

   Положим $$t=x^2y$$. Тогда из первого уравнения получаем

   $$t+6=\dfrac{y^3}{x^2}.$$

   Умножим уравнения системы:

   $$(x^2y+6)(x^2y-1)=\dfrac{y^3}{x^2}\cdot \dfrac{4x^4}{y^2}=4x^2y.$$

   Обозначив $$t=x^2y$$, получаем

   $$(t+6)(t-1)=4t,$$
   $$t^2+5t-6=4t,$$
   $$t^2+t-6=0.$$

   $$D=1+24=25,$$
   $$t_1=\dfrac{-1-5}{2}=-3,\qquad t_2=\dfrac{-1+5}{2}=2.$$

   1) Если $$x^2y=-3$$, то $$y=-\dfrac{3}{x^2}$$. Подставим во второе уравнение:

   $$x^2\left(-\dfrac{3}{x^2}\right)-1=\dfrac{4x^4}{\left(-\dfrac{3}{x^2}\right)^2},$$
   $$-4=\dfrac{4x^8}{9},$$
   $$x^8=-9.$$

   Действительных решений нет.

   2) Если $$x^2y=2$$, то $$y=\dfrac{2}{x^2}$$. Подставим во второе уравнение:

   $$x^2\cdot \dfrac{2}{x^2}-1=\dfrac{4x^4}{\left(\dfrac{2}{x^2}\right)^2},$$
   $$1=4x^4\cdot \dfrac{x^4}{4},$$
   $$x^8=1.$$

   Отсюда $$x=\pm 1$$, а тогда

   $$y=\dfrac{2}{x^2}=2.$$

   Получаем решения: $$(-1;2)$$ и $$(1;2)$$.

2. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} 2x^8=x^4y^4+1,\\ 3y^8=x^4y^4+2. \end{cases}$$

   Обозначим $$u=x^4y^4$$. Тогда

   $$2x^8=u+1,\qquad 3y^8=u+2.$$

   Перемножим эти равенства:

   $$6x^8y^8=(u+1)(u+2).$$

   Но $$x^8y^8=(x^4y^4)^2=u^2$$, значит

   $$6u^2=(u+1)(u+2),$$
   $$6u^2=u^2+3u+2,$$
   $$5u^2-3u-2=0.$$

   $$D=9+40=49,$$
   $$u_1=\dfrac{3-7}{10}=-\dfrac{2}{5},\qquad u_2=\dfrac{3+7}{10}=1.$$

   Так как $$u=x^4y^4\ge 0$$, то $$u=-\dfrac25$$ не подходит. Следовательно,

   $$x^4y^4=1,$$
   $$xy=\pm 1.$$

   1) Если $$xy=1$$, то $$y=\dfrac1x$$. Подставим в первое уравнение:

   $$2x^8=x^4\cdot \dfrac{1}{x^4}+1=2,$$
   $$x^8=1,$$
   $$x=\pm 1.$$

   Тогда $$y=\dfrac1x$$, то есть получаем точки $$(1;1)$$ и $$(-1;-1)$$.

   2) Если $$xy=-1$$, то $$y=-\dfrac1x$$. Подставим в первое уравнение:

   $$2x^8=x^4\cdot \dfrac{1}{x^4}+1=2,$$
   $$x^8=1,$$
   $$x=\pm 1.$$

   Тогда $$y=-\dfrac1x$$, то есть получаем точки $$(-1;1)$$ и $$(1;-1)$$.

Ответ

1) $$(-1;2),\ (1;2)$$.

2) $$(-1;1),\ (1;-1),\ (-1;-1),\ (1;1)$$.