Упр.12.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(x^2 y+6=y^3/x^2, x^2 y-1=4x^4/y^2);
2) {(2x^8=x^4 y^4+1, 3y^8=x^4 y^4+2).

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2y+6=\dfrac{y^3}{x^2},\\ x^2y-1=\dfrac{4x^4}{y^2}. \end{cases} $$
Положим $$t=x^2y$$. Тогда из первого уравнения получаем
$$ t+6=\dfrac{y^3}{x^2}. $$
Умножим уравнения системы:
$$ (x^2y+6)(x^2y-1)=\dfrac{y^3}{x^2}\cdot \dfrac{4x^4}{y^2}=4x^2y. $$
Обозначив $$t=x^2y$$, получаем
$$ (t+6)(t-1)=4t, $$
$$ t^2+5t-6=4t, $$
$$ t^2+t-6=0. $$
$$ D=1+24=25, $$
$$ t_1=\dfrac{-1-5}{2}=-3,\qquad t_2=\dfrac{-1+5}{2}=2. $$
1) Если $$x^2y=-3$$, то $$y=-\dfrac{3}{x^2}$$. Подставим во второе уравнение:
$$ x^2\left(-\dfrac{3}{x^2}\right)-1=\dfrac{4x^4}{\left(-\dfrac{3}{x^2}\right)^2}, $$
$$ -4=\dfrac{4x^8}{9}, $$
$$ x^8=-9. $$
Действительных решений нет.
2) Если $$x^2y=2$$, то $$y=\dfrac{2}{x^2}$$. Подставим во второе уравнение:
$$ x^2\cdot \dfrac{2}{x^2}-1=\dfrac{4x^4}{\left(\dfrac{2}{x^2}\right)^2}, $$
$$ 1=4x^4\cdot \dfrac{x^4}{4}, $$
$$ x^8=1. $$
Отсюда $$x=\pm 1$$, а тогда
$$ y=\dfrac{2}{x^2}=2. $$
Получаем решения: $$(-1;2)$$ и $$(1;2)$$.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} 2x^8=x^4y^4+1,\\ 3y^8=x^4y^4+2. \end{cases} $$
Обозначим $$u=x^4y^4$$. Тогда
$$ 2x^8=u+1,\qquad 3y^8=u+2. $$
Перемножим эти равенства:
$$ 6x^8y^8=(u+1)(u+2). $$
Но $$x^8y^8=(x^4y^4)^2=u^2$$, значит
$$ 6u^2=(u+1)(u+2), $$
$$ 6u^2=u^2+3u+2, $$
$$ 5u^2-3u-2=0. $$
$$ D=9+40=49, $$
$$ u_1=\dfrac{3-7}{10}=-\dfrac{2}{5},\qquad u_2=\dfrac{3+7}{10}=1. $$
Так как $$u=x^4y^4\ge 0$$, то $$u=-\dfrac25$$ не подходит. Следовательно,
$$ x^4y^4=1, $$
$$ xy=\pm 1. $$
1) Если $$xy=1$$, то $$y=\dfrac1x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ 2x^8=x^4\cdot \dfrac{1}{x^4}+1=2, $$
$$ x^8=1, $$
$$ x=\pm 1. $$
Тогда $$y=\dfrac1x$$, то есть получаем точки $$(1;1)$$ и $$(-1;-1)$$.
2) Если $$xy=-1$$, то $$y=-\dfrac1x$$. Подставим в первое уравнение:
$$ 2x^8=x^4\cdot \dfrac{1}{x^4}+1=2, $$
$$ x^8=1, $$
$$ x=\pm 1. $$
Тогда $$y=-\dfrac1x$$, то есть получаем точки $$(-1;1)$$ и $$(1;-1)$$.