Упр.12.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Решите систему уравнений:

1. $$\begin{cases}xy+24=\frac{x^3}{y},\\xy-6=\frac{y^3}{x};\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}x^3y^5=4x^2y^3-9,\\xy=x^2y^3-6.\end{cases}$$

1. $$xy+24=\frac{x^3}{y}, \qquad xy-6=\frac{y^3}{x}$$

   Умножим первое уравнение на $$y$$, а второе — на $$x$$:

   $$xy^2+24y=x^3,\qquad x^2y-6x=y^3$$

   Проще перемножить исходные уравнения:

   $$(xy+24)(xy-6)=\frac{x^3}{y}\cdot\frac{y^3}{x}=x^2y^2$$
   $$(xy)^2-6xy+24xy-144=(xy)^2$$
   $$18xy=144$$
   $$xy=8$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$8+24=\frac{x^3}{y}$$
   $$32=\frac{x^3}{y}$$
   Так как $$y=\frac{8}{x}$$, получаем:
   $$32=\frac{x^3}{8/x}=\frac{x^4}{8}$$
   $$x^4=256$$
   $$x=\pm 4$$

   Тогда
   $$y=\frac{8}{x}$$
   и
   $$y=2 \text{ при } x=4,\qquad y=-2 \text{ при } x=-4.$$

2. $$x^3y^5=4x^2y^3-9, \qquad xy=x^2y^3-6$$

   Вынесем общий множитель:

   $$x^2y^3(xy^2-4)=-9$$
   $$xy(xy^2-1)=6$$

   Обозначим $$t=xy^2$$. Тогда из первого уравнения:

   $$x^2y^3(xy^2-4)=-9$$
   $$xy^2\cdot xy(xy^2-4)=-9$$
   $$t\cdot xy(t-4)=-9$$

   Удобнее сразу выразить $$x$$ через $$y$$ из второго уравнения:

   $$xy(xy^2-1)=6$$
   $$x^2y^3-xy=6$$

   После преобразований получаем квадратное уравнение относительно $$xy^2$$:

   $$2(xy^2)^2-5xy^2-3=0$$
   $$D=25+24=49$$
   $$xy^2_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad xy^2_2=\frac{5+7}{4}=3$$

   1) Если $$xy^2=-\frac12$$, то из $$xy(xy^2-1)=6$$:
   $$xy\left(-\frac12-1\right)=6$$
   $$-\frac32\,xy=6$$
   $$xy=-4$$
   Тогда
   $$y=\frac{1}{8},\qquad x=-32.$$

   2) Если $$xy^2=3$$, то:
   $$xy(3-1)=6$$
   $$2xy=6$$
   $$xy=3$$
   Тогда
   $$y=1,\qquad x=3.$$

Ответ

1) $$(-4;\,-2),\ (4;\,2)$$
2) $$(-32;\,\tfrac18),\ (3;\,1)$$