Упр.12.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) {(xy+24=x^3/y, xy-6=y^3/x);
2) {(x^3 y^5=4x^2 y^3-9, xy=x^2 y^3-6).

Подробный ответ

$$xy+24=\frac{x^3}{y}, \qquad xy-6=\frac{y^3}{x}$$
Умножим первое уравнение на $$y$$, а второе — на $$x$$:
$$ xy^2+24y=x^3,\qquad x^2y-6x=y^3 $$
Проще перемножить исходные уравнения:
$$ (xy+24)(xy-6)=\frac{x^3}{y}\cdot\frac{y^3}{x}=x^2y^2 $$
$$ (xy)^2-6xy+24xy-144=(xy)^2 $$
$$ 18xy=144 $$
$$ xy=8 $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 8+24=\frac{x^3}{y} $$
$$ 32=\frac{x^3}{y} $$
Так как $$y=\frac{8}{x}$$, получаем:
$$ 32=\frac{x^3}{8/x}=\frac{x^4}{8} $$
$$ x^4=256 $$
$$ x=\pm 4 $$
Тогда
$$ y=\frac{8}{x} $$
и
$$ y=2 \text{ при } x=4,\qquad y=-2 \text{ при } x=-4. $$
$$x^3y^5=4x^2y^3-9, \qquad xy=x^2y^3-6$$
Вынесем общий множитель:
$$ x^2y^3(xy^2-4)=-9 $$
$$ xy(xy^2-1)=6 $$
Обозначим $$t=xy^2$$. Тогда из первого уравнения:
$$ x^2y^3(xy^2-4)=-9 $$
$$ xy^2\cdot xy(xy^2-4)=-9 $$
$$ t\cdot xy(t-4)=-9 $$
Удобнее сразу выразить $$x$$ через $$y$$ из второго уравнения:
$$ xy(xy^2-1)=6 $$
$$ x^2y^3-xy=6 $$
После преобразований получаем квадратное уравнение относительно $$xy^2$$:
$$ 2(xy^2)^2-5xy^2-3=0 $$
$$ D=25+24=49 $$
$$ xy^2_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad xy^2_2=\frac{5+7}{4}=3 $$
1) Если $$xy^2=-\frac12$$, то из $$xy(xy^2-1)=6$$:
$$ xy\left(-\frac12-1\right)=6 $$
$$ -\frac32\,xy=6 $$
$$ xy=-4 $$
Тогда
$$ y=\frac{1}{8},\qquad x=-32. $$
2) Если $$xy^2=3$$, то:
$$ xy(3-1)=6 $$
$$ 2xy=6 $$
$$ xy=3 $$
Тогда
$$ y=1,\qquad x=3. $$