Упр.12.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(x^8 y^6=64, x^6 y^8=256);
2) {((x+y)(x-2y)^4=81, (x+y)^6 (x-2y)^3=27);
3) {(xy^3+x^3 y=-10, x^2 y^4+x^4 y^2=20);
4) {(x^2+3xy+x+3y=8, 3y^2+xy-2x-6y=-4);
5) {(x^2+xy-2y^2+x+2y=-7, x^2-3xy+2y^2+x-2y=5);
6) {(2x^2+xy-4x-2y=5, x^2-3xy-2x+6y=6).

1. $$\begin{cases} x^8y^6=64,\\ x^6y^8=256 \end{cases}$$
   Разделим второе уравнение на первое:
   $$\frac{x^6y^8}{x^8y^6}=\frac{256}{64}$$
   $$\frac{y^2}{x^2}=4,$$
   значит,
   $$y=\pm 2x.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x^8(\pm 2x)^6=64$$
   $$64x^{14}=64$$
   $$x^{14}=1,$$
   откуда
   $$x=\pm 1.$$
   Тогда
   $$y=\pm 2.$$
   Получаем четыре пары:
   $$( -1;-2),\;(-1;2),\;(1;-2),\;(1;2).$$

2. $$\begin{cases} (x+y)(x-2y)^4=81,\\ (x+y)^6(x-2y)^3=27 \end{cases}$$
   Перемножим уравнения:
   $$(x+y)^7(x-2y)^7=81\cdot 27,$$
   $$\bigl((x+y)(x-2y)\bigr)^7=3^7,$$
   значит,
   $$(x+y)(x-2y)=3.$$
   Разделим второе уравнение на первое:
   $$\frac{(x+y)^6(x-2y)^3}{(x+y)(x-2y)^4}=\frac{27}{81}$$
   $$\frac{(x+y)^5}{x-2y}=\frac13.$$
   Удобнее воспользоваться равенством
   $$(x+y)(x-2y)=3.$$
   Тогда из первого уравнения:
   $$(x+y)\cdot 3^4=81,$$
   $$81(x+y)=81,$$
   $$x+y=1.$$
   Из системы
   $$\begin{cases} x+y=1,\\ x-2y=3 \end{cases}$$
   получаем
   $$y=-\frac23,\qquad x=\frac53.$$

3. $$\begin{cases} xy^3+x^3y=-10,\\ x^2y^4+x^4y^2=20 \end{cases}$$
   Вынесем общий множитель:
   $$\begin{cases} xy(x^2+y^2)=-10,\\ x^2y^2(x^2+y^2)=20 \end{cases}$$
   Разделим второе уравнение на первое:
   $$xy=-2.$$
   Тогда
   $$y=-\frac{2}{x}.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x\left(-\frac{2}{x}\right)^3+x^3\left(-\frac{2}{x}\right)=-10,$$
   $$-\frac{8}{x^2}-2x^2=-10.$$
   Умножим на $$-\frac{x^2}{2}$$:
   $$x^4-5x^2+4=0.$$
   Обозначим $$t=x^2$$:
   $$t^2-5t+4=0,$$
   $$t=1 \text{ или } t=4.$$
   Значит,
   $$x=\pm 1 \text{ или } x=\pm 2.$$
   Из условия $$xy=-2$$ получаем пары:
   $$( -1;2),\ (1;-2),\ (-2;1),\ (2;-1).$$

4. $$\begin{cases} x^2+3xy+x+3y=8,\\ 3y^2+xy-2x-6y=-4 \end{cases}$$
   Сгруппируем:
   $$\begin{cases} (x+1)(x+3y)=8,\\ (y-2)(x+3y)=-4 \end{cases}$$
   Разделим первое уравнение на второе:
   $$\frac{x+1}{y-2}=-2,$$
   $$x+1=-2(y-2),$$
   $$x=3-2y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$3y^2+y(3-2y)-2(3-2y)-6y=-4,$$
   $$y^2+y-2=0,$$
   $$ (y+2)(y-1)=0.$$
   Тогда
   $$y=-2 \text{ или } y=1.$$
   Соответственно,
   $$x=7 \text{ или } x=1.$$
   Получаем:
   $$(7;-2),\ (1;1).$$

5. $$\begin{cases} x^2+xy-2y^2+x+2y=-7,\\ x^2-3xy+2y^2+x-2y=5 \end{cases}$$
   Разложим на множители:
   $$\begin{cases} (x+2y)(x-y+1)=-7,\\ (x-2y)(x-y+1)=5 \end{cases}$$
   Разделим первое уравнение на второе:
   $$\frac{x+2y}{x-2y}=-\frac75.$$
   Отсюда
   $$-7(x-2y)=5(x+2y),$$
   $$14y-7x=5x+10y,$$
   $$4y=12x,$$
   $$y=3x.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$(x-6x)(x-3x+1)=5,$$
   $$-5x(1-2x)=5,$$
   $$10x^2-5x-5=0,$$
   $$2x^2-x-1=0,$$
   $$(2x+1)(x-1)=0.$$
   Тогда
   $$x=-\frac12 \text{ или } x=1,$$
   $$y=-\frac32 \text{ или } y=3.$$
   Ответ:
   $$\left(-\frac12;-\frac32\right),\ (1;3).$$

6. $$\begin{cases} 2x^2+xy-4x-2y=5,\\ x^2-3xy-2x+6y=6 \end{cases}$$
   Сгруппируем:
   $$\begin{cases} (x-2)(2x+y)=5,\\ (x-2)(x-3y)=6 \end{cases}$$
   Разделим первое уравнение на второе:
   $$\frac{2x+y}{x-3y}=\frac56.$$
   Тогда
   $$6(2x+y)=5(x-3y),$$
   $$12x+6y=5x-15y,$$
   $$7x=-21y,$$
   $$x=-3y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$(-3y-2)(-3y-3y)=6,$$
   $$6y(3y+2)=6,$$
   $$18y^2+12y-6=0,$$
   $$3y^2+2y-1=0,$$
   $$(3y-1)(y+1)=0.$$
   Значит,
   $$y=\frac13 \text{ или } y=-1.$$
   Тогда
   $$x=-1 \text{ или } x=3.$$
   Получаем:
   $$(3;-1),\ \left(-1;\frac13\right).$$

Ответ

1) $$(-1;-2),\ (-1;2),\ (1;-2),\ (1;2)$$
2) $$\left(\frac53;-\frac23\right)$$
3) $$(-1;2),\ (1;-2),\ (-2;1),\ (2;-1)$$
4) $$(7;-2),\ (1;1)$$
5) $$\left(-\frac12;-\frac32\right),\ (1;3)$$
6) $$(3;-1),\ \left(-1;\frac13\right)$$