Упр.12.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) {(x^2 y^5=1, x^5 y^2=-1);
2) {((x-y)^2 (x+2y)=4, (x-y)^4 (x+2y)^5=16);
3) {(x^3 y+x^2 y^2=6, x^2 y^2=xy^3=12);
4) {(2xy+6x-y^2-3y=14, 2x^2+4x-xy-2y=35);
5) {(x^2+4xy+3y^2-x-3y=24, 2x^2+xy-y^2-2x+y=6);
6) {(x^3/y+xy=40, y^3/x+xy=10).
$$\begin{cases} x^2y^5=1,\\ x^5y^2=-1 \end{cases}$$
Разделим второе уравнение на первое:
$$\frac{x^5y^2}{x^2y^5}=\frac{-1}{1}$$
$$\frac{x^3}{y^3}=-1$$
$$x^3=-y^3$$
$$y=-x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2(-x)^5=1$$
$$-x^7=1$$
$$x^7=-1,$$
откуда $$x=-1,$$ тогда $$y=1.$$Ответ: $$(-1;\,1).$$
$$\begin{cases} (x-y)^2(x+2y)=4,\\ (x-y)^4(x+2y)^5=16 \end{cases}$$
Разделим второе уравнение на квадрат первого:
$$\frac{(x-y)^4(x+2y)^5}{\bigl((x-y)^2(x+2y)\bigr)^2}= \frac{16}{16}$$
$$x+2y=1.$$
Тогда $$x=1-2y.$$ Подставим в первое уравнение:
$$(1-2y-y)^2\cdot 1=4$$
$$(1-3y)^2=4.$$
Получаем:
$$1-3y=2 \quad \text{или} \quad 1-3y=-2.$$
Отсюда
$$y=-\frac13 \quad \text{или} \quad y=1.$$
Тогда
$$x=1-2\left(-\frac13\right)=\frac53 \quad \text{или} \quad x=1-2\cdot 1=-1.$$Ответ: $$\left(\frac53;\,-\frac13\right),\;(-1;\,1).$$
$$\begin{cases} x^3y+x^2y^2=6,\\ x^2y^2+xy^3=12 \end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$x^3y+2x^2y^2+xy^3=18$$
$$xy(x^2+2xy+y^2)=18$$
$$xy(x+y)^2=18.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$x^2y^2+xy^3-x^3y-x^2y^2=12-6$$
$$xy(y^2-x^2)=6$$
$$xy(y-x)(x+y)=6.$$
Из отношения получаем
$$\frac{x-y}{x+y}=-\frac13,$$
значит
$$3(x-y)=-(x+y)$$
$$4x=2y$$
$$y=2x.$$
Подставим в $$xy(x+y)^2=18$$:
$$x\cdot 2x\cdot (3x)^2=18$$
$$18x^4=18$$
$$x^4=1.$$
Тогда $$x=\pm 1,$$ а $$y=2x.$$Ответ: $$(-1;\,-2),\;(1;\,2).$$
$$\begin{cases} 2xy+6x-y^2-3y=14,\\ 2x^2+4x-xy-2y=35 \end{cases}$$
Преобразуем:
$$2x(y+3)-y(y+3)=14,$$
$$2x(x+2)-y(x+2)=35.$$
Тогда
$$(2x-y)(y+3)=14,$$
$$(2x-y)(x+2)=35.$$
Делим второе уравнение на первое:
$$\frac{x+2}{y+3}=\frac{35}{14}=\frac52.$$
Значит,
$$2(x+2)=5(y+3),$$
$$2x=5y+11,$$
$$x=\frac{5y+11}{2}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$2\cdot \frac{5y+11}{2}\cdot y+6\cdot \frac{5y+11}{2}-y^2-3y=14.$$
После упрощения:
$$4y^2+23y+19=0.$$
$$D=23^2-4\cdot 4\cdot 19=225.$$
Тогда
$$y_1=\frac{-23-15}{8}=-\frac{19}{4},\qquad y_2=\frac{-23+15}{8}=-1.$$
Находим $$x$$:
$$x_1=\frac{5\left(-\frac{19}{4}\right)+11}{2}=-\frac{51}{8},\qquad x_2=\frac{5(-1)+11}{2}=3.$$Ответ: $$(3;\,-1),\;\left(-\frac{51}{8};\,-\frac{19}{4}\right).$$
$$\begin{cases} x^2+4xy+3y^2-x-3y=24,\\ 2x^2+xy-y^2-2x+y=6 \end{cases}$$
Представим левую часть в виде произведений:
$$x^2+4xy+3y^2-x-3y=(x+3y)(x+y-1),$$
$$2x^2+xy-y^2-2x+y=(2x-y)(x+y-1).$$
Тогда
$$\begin{cases} (x+3y)(x+y-1)=24,\\ (2x-y)(x+y-1)=6 \end{cases}$$
Делим первое уравнение на второе:
$$\frac{x+3y}{2x-y}=4,$$
$$x+3y=8x-4y,$$
$$7y=7x,$$
$$x=y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x(2x-1)=6,$$
$$2x^2-x-6=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$x=\frac{1\pm 7}{4}.$$
Получаем
$$x_1=-\frac32,\quad x_2=2,$$
и так как $$x=y,$$ то
$$y_1=-\frac32,\quad y_2=2.$$Ответ: $$\left(-\frac32;\,-\frac32\right),\;(2;\,2).$$
$$\begin{cases} \dfrac{x^3}{y}+xy=40,\\ \dfrac{y^3}{x}+xy=10 \end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$x$$, второе — на $$y$$:
$$x^4+x^2y^2=40x,$$
$$y^4+x y^2?$$Удобнее сложить и вычесть исходные уравнения:
$$\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{x}+2xy=50,$$
$$\frac{x^3}{y}-\frac{y^3}{x}=30.$$
Умножим первое уравнение на $$xy$$:
$$x^4+y^4+2x^2y^2=50xy,$$
$$\bigl(x^2+y^2\bigr)^2=50xy.$$
Умножим второе уравнение на $$xy$$:
$$x^4-y^4=30xy,$$
$$\bigl(x^2+y^2\bigr)\bigl(x^2-y^2\bigr)=30xy.$$
Делим второе равенство на первое:
$$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{30}{50}=\frac35.$$
Тогда
$$3(x^2+y^2)=5(x^2-y^2),$$
$$2x^2=8y^2,$$
$$x^2=4y^2,$$
$$x=\pm 2y.$$
Случай $$x=-2y$$ не подходит, так как тогда
$$\bigl(x^2+y^2\bigr)^2=50xy<0,$$ что невозможно. Значит, $$x=2y.$$ Подставим в $$\bigl(x^2+y^2\bigr)^2=50xy$$: $$(4y^2+y^2)^2=50\cdot 2y^2,$$ $$25y^4=100y^2,$$ $$y^2=4,$$ $$y=\pm 2,$$ $$x=\pm 4.$$Ответ: $$(-4;\,-2),\;(4;\,2).$$
