Упр.12.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(3x^2+3y^2-11x-7y+10=0, x^2+y^2-4x-3y+5=0);
2) {(x^2-x+1=y, y^2-y+1=x);
3) {(x^3+2x^2 y+xy^2-x-y=2, y^3+2xy^2+x^2 y+y=6);
4) {(x^3+3x^2 y+3xy^2=1, y^3+x+y=1).

1. $$\begin{cases} 3x^2+3y^2-11x-7y+10=0,\\ x^2+y^2-4x-3y+5=0. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$3$$ и вычтем его из первого:
   $$3x^2+3y^2-11x-7y+10-(3x^2+3y^2-12x-9y+15)=0,$$
   $$x+2y-5=0,$$
   $$x=5-2y.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$(5-2y)^2+y^2-4(5-2y)-3y+5=0,$$
   $$25-20y+4y^2+y^2-20+8y-3y+5=0,$$
   $$5y^2-15y+10=0,$$
   $$y^2-3y+2=0,$$
   $$(y-1)(y-2)=0.$$
   Тогда $$y=1$$ или $$y=2$$.
   При $$y=1$$ получаем $$x=5-2\cdot 1=3$$.
   При $$y=2$$ получаем $$x=5-2\cdot 2=1$$.

2. $$\begin{cases} x^2-x+1=y,\\ y^2-y+1=x. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^2-x+1+y^2-y+1=x+y,$$
   $$x^2-2x+y^2-2y+2=0,$$
   $$(x-1)^2+(y-1)^2=0.$$
   Значит,
   $$x-1=0,\quad y-1=0,$$
   то есть
   $$x=1,\quad y=1.$$

3. $$\begin{cases} x^3+2x^2y+xy^2-x-y=2,\\ y^3+2xy^2+x^2y+x+y=6. \end{cases}$$
   Сложим уравнения:
   $$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=8,$$
   $$\left(x+y\right)^3=8.$$
   Тогда
   $$x+y=2,$$
   $$y=2-x.$$
   Подставим в первое уравнение:
   $$x^3+2x^2(2-x)+x(2-x)^2-x-(2-x)=2,$$
   $$x^3+4x^2-2x^3+4x-4x^2+x^3-x-2+x=2,$$
   $$4x=4,$$
   $$x=1,$$
   $$y=2-1=1.$$

4. $$\begin{cases} x^3+3x^2y+3xy^2=1,\\ y^3+x+y=1. \end{cases}$$
   Первое уравнение перепишем так:
   $$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=1+y^3,$$
   то есть
   $$\left(x+y\right)^3=1+y^3.$$
   Сложим исходные уравнения:
   $$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+x+y=2,$$
   $$\left(x+y\right)^3+\left(x+y\right)=2.$$
   Обозначим $$t=x+y$$. Тогда
   $$t^3+t=2,$$
   $$t^3+t-2=0,$$
   $$(t-1)(t^2+t+2)=0.$$
   Так как $$t^2+t+2>0$$ при любых $$t$$, получаем
   $$t=1.$$
   Значит,
   $$x+y=1.$$
   Подставим во второе уравнение:
   $$y^3+1=1,$$
   $$y^3=0,$$
   $$y=0,$$
   $$x=1-0=1.$$

Ответ

1) $$\left(3;1\right),\ \left(1;2\right)$$;
2) $$\left(1;1\right)$$;
3) $$\left(1;1\right)$$;
4) $$\left(1;0\right)$$.