Упр.12.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(3x^2+xy-2x+y-5=0, 2x^2-xy-3x-y-5=0);
2) {(x^2+4xy=5, y^2-2xy=-1);
3) {(x^2+y^2+xy=12, 4x+3xy-x^2=16);
4) {(x^2-(2/3)y+1/9=0, y^2-(2/3)x+1/9=0).

1. Сложим уравнения системы:
   $$\begin{aligned} 3x^2+xy-2x+y-5&=0 \\ 2x^2-xy-3x-y-5&=0 \end{aligned}$$
   Получаем:
   $$5x^2-5x-10=0,$$
   $$x^2-x-2=0,$$
   $$\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0.$$
   Тогда
   $$x=-1 \text{ или } x=2.$$

   Если $$x=-1,$$ то
   $$3\cdot(-1)^2+(-1)y-2\cdot(-1)+y-5=0,$$
   $$3-y+2+y-5=0,$$
   $$0=0,$$
   значит, $$y$$ — любое число.

   Если $$x=2,$$ то
   $$3\cdot 2^2+2y-2\cdot 2+y-5=0,$$
   $$12+2y-4+y-5=0,$$
   $$3y+3=0,$$
   $$y=-1.$$

   Ответ: $$\left(2;-1\right),\ \left(-1;t\right),\ t\in \mathbb{R}.$$

2. Из первого уравнения:
   $$x^2+4xy=5.$$
   Из второго:
   $$y^2-2xy=-1,$$
   значит,
   $$x^2+2xy+y^2=4,$$
   $$\left(x+y\right)^2=4.$$
   Тогда
   $$x+y=2 \text{ или } x+y=-2.$$

   1) Пусть $$x+y=-2,$$ тогда $$y=-x-2.$$ Подставим в первое уравнение:
   $$x^2+4x(-x-2)=5,$$
   $$x^2-4x^2-8x=5,$$
   $$3x^2+8x+5=0.$$
   $$D=8^2-4\cdot 3\cdot 5=4,$$
   $$x_1=\frac{-8-2}{6}=-\frac{5}{3},\quad x_2=\frac{-8+2}{6}=-1.$$
   Тогда
   $$y_1=-\left(-\frac{5}{3}\right)-2=-\frac{1}{3},\quad y_2=-(-1)-2=-1.$$

   2) Пусть $$x+y=2,$$ тогда $$y=2-x.$$ Подставим в первое уравнение:
   $$x^2+4x(2-x)=5,$$
   $$x^2+8x-4x^2=5,$$
   $$3x^2-8x+5=0.$$
   $$D=8^2-4\cdot 3\cdot 5=4,$$
   $$x_1=\frac{8-2}{6}=1,\quad x_2=\frac{8+2}{6}=\frac{5}{3}.$$
   Тогда
   $$y_1=2-1=1,\quad y_2=2-\frac{5}{3}=\frac{1}{3}.$$

   Ответ: $$\left(-\frac{5}{3};-\frac{1}{3}\right),\ (-1;-1),\ (1;1),\ \left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right).$$

3. Вычтем из второго уравнения первое, предварительно преобразовав:
   $$4x+3xy-x^2=16,$$
   $$x^2+y^2+xy=12.$$
   Удобно сложить их так:
   $$2x^2+y^2+2xy-4x=28?$$
   Перепишем второе уравнение:
   $$x^2-4x-3xy+16=0.$$
   Тогда из первого:
   $$x^2+y^2+xy=12.$$
   Складывая и преобразуя, получаем:
   $$x^2-2xy+y^2+x^2-4x+4=0,$$
   $$\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2=0.$$
   Следовательно,
   $$x-y=0,\quad x-2=0,$$
   значит,
   $$x=2,\quad y=2.$$

   Ответ: $$\left(2;2\right).$$

4. Сложим уравнения системы:
   $$x^2-\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}=0,$$
   $$y^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0.$$
   Получаем:
   $$x^2+y^2-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}y+\frac{2}{9}=0.$$
   Преобразуем:
   $$\left(x-\frac{1}{3}\right)^2+\left(y-\frac{1}{3}\right)^2=0.$$
   Тогда
   $$x-\frac{1}{3}=0,\quad y-\frac{1}{3}=0,$$
   откуда
   $$x=\frac{1}{3},\quad y=\frac{1}{3}.$$

   Ответ: $$\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right).$$