Упр.12.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Решите методом подстановки систему уравнений:
   1) $$\begin{cases}x-4y=2,\\xy+2y=8;\end{cases}$$
   2) $$\begin{cases}xy=15,\\2x-y=7;\end{cases}$$
   3) $$\begin{cases}x-y=4,\\x^2+y^2=8;\end{cases}$$
   4) $$\begin{cases}3x+4y=24,\\xy=12;\end{cases}$$
   5) $$\begin{cases}y+2x=0,\\x^2+y^2-6y=0;\end{cases}$$
   6) $$\begin{cases}4y-3x=4,\\5x^2+16y=60.\end{cases}$$

1. $$\begin{cases} x-4y=2,\\ xy+2y=8. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$x=2+4y.$$
   Подставим во второе:
   $$y(2+4y)+2y=8,$$
   $$4y^2+4y-8=0,$$
   $$y^2+y-2=0,$$
   $$\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0.$$
   Тогда
   $$y=-2 \text{ или } y=1.$$
   Найдём $$x$$:
   $$x=2+4(-2)=-6,$$
   $$x=2+4\cdot 1=6.$$
   Получаем точки:
   $$(-6;\,-2),\ (6;\,1).$$
2. $$\begin{cases} xy=15,\\ 2x-y=7. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=\frac{15}{x}.$$
   Подставим во второе:
   $$2x-\frac{15}{x}=7,$$
   $$2x^2-7x-15=0.$$
   $$D=49+120=169,$$
   $$x=\frac{7\pm 13}{4}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\frac{3}{2},\quad x_2=5.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=\frac{15}{-\frac{3}{2}}=-10,\quad y_2=\frac{15}{5}=3.$$
   Ответ:
   $$\left(-\frac{3}{2};\,-10\right),\ (5;\,3).$$
3. $$\begin{cases} x-y=4,\\ x^2+y^2=8. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=x-4.$$
   Подставим во второе:
   $$x^2+(x-4)^2=8,$$
   $$2x^2-8x+16=8,$$
   $$2x^2-8x+8=0,$$
   $$x^2-4x+4=0,$$
   $$\left(x-2\right)^2=0.$$
   Значит,
   $$x=2,\quad y=2-4=-2.$$
   Ответ:
   $$(2;\,-2).$$
4. $$\begin{cases} 3x+4y=24,\\ xy=12. \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$y=\frac{12}{x}.$$
   Подставим в первое:
   $$3x+4\cdot \frac{12}{x}=24,$$
   $$3x^2-24x+48=0,$$
   $$x^2-8x+16=0,$$
   $$\left(x-4\right)^2=0.$$
   Тогда
   $$x=4,\quad y=\frac{12}{4}=3.$$
   Ответ:
   $$(4;\,3).$$
5. $$\begin{cases} y+2x=0,\\ x^2+y^2-6y=0. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$y=-2x.$$
   Подставим во второе:
   $$x^2+(-2x)^2-6(-2x)=0,$$
   $$x^2+4x^2+12x=0,$$
   $$5x^2+12x=0,$$
   $$x(5x+12)=0.$$
   Тогда
   $$x=0 \text{ или } x=-\frac{12}{5}.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y=0,\quad y=-2\cdot \left(-\frac{12}{5}\right)=\frac{24}{5}.$$
   Ответ:
   $$(0;\,0),\ \left(-\frac{12}{5};\,\frac{24}{5}\right).$$
6. $$\begin{cases} 4y-3x=4,\\ 5x^2+16y=60. \end{cases}$$
   Из первого уравнения:
   $$4y=4+3x,$$
   $$y=1+\frac{3}{4}x.$$
   Подставим во второе:
   $$5x^2+16\left(1+\frac{3}{4}x\right)=60,$$
   $$5x^2+16+12x=60,$$
   $$5x^2+12x-44=0.$$
   $$D=144+880=1024,$$
   $$x=\frac{-12\pm 32}{10}.$$
   Тогда
   $$x_1=-\frac{22}{5},\quad x_2=2.$$
   Найдём $$y$$:
   $$y_1=1+\frac{3}{4}\cdot \left(-\frac{22}{5}\right)=-\frac{23}{10},\quad y_2=1+\frac{3}{4}\cdot 2=\frac{5}{2}.$$
   Ответ:
   $$\left(-\frac{22}{5};\,-\frac{23}{10}\right),\ (2;\,\frac{5}{2}).$$

Ответ

1) $$(-6;\,-2),\ (6;\,1)$$; 2) $$\left(-\frac{3}{2};\,-10\right),\ (5;\,3)$$; 3) $$(2;\,-2)$$; 4) $$(4;\,3)$$; 5) $$(0;\,0),\ \left(-\frac{12}{5};\,\frac{24}{5}\right)$$; 6) $$\left(-\frac{22}{5};\,-\frac{23}{10}\right),\ (2;\,\frac{5}{2})$$.