Упр.11.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.9. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений {(2x+(9a^2-2)y=3a, x+y=1) не имеет решений.

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} 2x+(9a^2-2)y=3a,\\ x+y=1. \end{cases} $$

Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны и не совпадать.

Выразим $y$ из каждого уравнения:

$$ (9a^2-2)y=3a-2x, $$

$$ y=1-x. $$

Тогда

$$ y=\frac{3a}{9a^2-2}-\frac{2}{9a^2-2}x. $$

Для параллельности прямых должны быть равны угловые коэффициенты:

$$ \frac{2}{9a^2-2}=1. $$

Отсюда

$$ 2=9a^2-2, $$

$$ 9a^2=4, $$

$$ a^2=\frac{4}{9}, $$

$$ a=\pm \frac{2}{3}. $$

Проверим, при каких из этих значений прямые не совпадают. Для этого свободные члены должны быть различны:

$$ \frac{3a}{9a^2-2}\ne 1. $$

Подставим $9a^2-2=2$:

$$ \frac{3a}{2}\ne 1, $$

$$ 3a\ne 2. $$

При $a=\frac{2}{3}$ получаем равенство, значит прямые совпадают и решений бесконечно много.

При $a=-\frac{2}{3}$:

$$ \frac{3a}{2}=-1\ne 1, $$

значит прямые параллельны и не совпадают, поэтому решений нет.

Ответ

$$a=-\frac{2}{3}$$