Упр.11.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$a$$, при которых система уравнений $$\begin{cases}2x+(9a^2-2)y=3a,\\x+y=1\end{cases}$$ не имеет решений.

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 2x+(9a^2-2)y=3a,\\ x+y=1. \end{cases}$$

Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны и не совпадать.

Выразим $$y$$ из каждого уравнения:

$$(9a^2-2)y=3a-2x,$$

$$y=1-x.$$

Тогда

$$y=\frac{3a}{9a^2-2}-\frac{2}{9a^2-2}x.$$

Для параллельности прямых должны быть равны угловые коэффициенты:

$$\frac{2}{9a^2-2}=1.$$

Отсюда

$$2=9a^2-2,$$

$$9a^2=4,$$

$$a^2=\frac{4}{9},$$

$$a=\pm \frac{2}{3}.$$

Проверим, при каких из этих значений прямые не совпадают. Для этого свободные члены должны быть различны:

$$\frac{3a}{9a^2-2}\ne 1.$$

Подставим $$9a^2-2=2$$:

$$\frac{3a}{2}\ne 1,$$

$$3a\ne 2.$$

При $$a=\frac{2}{3}$$ получаем равенство, значит прямые совпадают и решений бесконечно много.

При $$a=-\frac{2}{3}$$:

$$\frac{3a}{2}=-1\ne 1,$$

значит прямые параллельны и не совпадают, поэтому решений нет.

Ответ

$$a=-\frac{2}{3}$$