Упр.11.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.8. Докажите, что система уравнений {(ax+(a-1)y=2a, 3(a+2)x+(4a+1)y=a+5) имеет единственное решение при всех значениях параметра a.

Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} ax+(a-1)y=2a,\\ 3(a+2)x+(4a+1)y=a+5. \end{cases} $$

Чтобы система имела единственное решение, достаточно показать, что её определитель отличен от нуля при любом значении параметра $$a$$:

$$ \Delta= \begin{vmatrix} a & a-1\\ 3(a+2) & 4a+1 \end{vmatrix} =a(4a+1)-3(a+2)(a-1). $$

Упростим:

$$ \Delta=4a^2+a-3(a^2+a-2)=4a^2+a-3a^2-3a+6=a^2-2a+6. $$

Преобразуем выражение:

$$ a^2-2a+6=(a-1)^2+5. $$

Так как $$ (a-1)^2 \ge 0 $$, то

$$ (a-1)^2+5>0 $$

при любом $$a$$. Значит, $$\Delta \ne 0$$ для всех значений параметра.

Следовательно, система имеет единственное решение при всех значениях $$a$$.

Ответ

Система имеет единственное решение при любом $$a$$, так как её определитель $$\Delta=a^2-2a+6=(a-1)^2+5>0$$ для всех $$a\in\mathbb{R}$$.