Упр.11.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что система уравнений $$\begin{cases} ax+(a-1)y=2a,\\ 3(a+2)x+(4a+1)y=a+5 \end{cases}$$ имеет единственное решение при всех значениях параметра $$a$$.

Рассмотрим систему

$$\begin{cases} ax+(a-1)y=2a,\\ 3(a+2)x+(4a+1)y=a+5. \end{cases}$$

Чтобы система имела единственное решение, достаточно показать, что её определитель отличен от нуля при любом значении параметра $$a$$:

$$\Delta= \begin{vmatrix} a & a-1\\ 3(a+2) & 4a+1 \end{vmatrix} =a(4a+1)-3(a+2)(a-1).$$

Упростим:

$$\Delta=4a^2+a-3(a^2+a-2)=4a^2+a-3a^2-3a+6=a^2-2a+6.$$

Преобразуем выражение:

$$a^2-2a+6=(a-1)^2+5.$$

Так как $$(a-1)^2 \ge 0$$, то

$$(a-1)^2+5>0$$

при любом $$a$$. Значит, $$\Delta \ne 0$$ для всех значений параметра.

Следовательно, система имеет единственное решение при всех значениях $$a$$.

Ответ

Система имеет единственное решение при любом $$a$$, так как её определитель $$\Delta=a^2-2a+6=(a-1)^2+5>0$$ для всех $$a\in\mathbb{R}$$.