Упр.11.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений
$$\begin{cases}(2a-3)x-ay=3a-2,\\5x-(2a+3)y=5\end{cases}$$ имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель её коэффициентов не равен нулю:

$$\Delta= \begin{vmatrix} 2a-3 & -a \\ 5 & -(2a+3) \end{vmatrix} =(2a-3)\bigl(-(2a+3)\bigr)-(-a)\cdot 5.$$

Упростим:

$$\Delta=-(2a-3)(2a+3)+5a =-(4a^2-9)+5a =-4a^2+5a+9.$$

Требуем условие:

$$-4a^2+5a+9\ne 0$$

или

$$4a^2-5a-9\ne 0.$$

Найдём корни уравнения:

$$4a^2-5a-9=0.$$

$$D=(-5)^2-4\cdot 4\cdot(-9)=25+144=169.$$

$$a_{1,2}=\frac{5\pm 13}{8}.$$

Получаем:

$$a_1=-1,\qquad a_2=\frac{9}{4}.$$

Значит, система имеет единственное решение при всех значениях параметра, кроме этих двух.

Ответ

$$a\ne -1,\quad a\ne \frac{9}{4}.$$