Упр.11.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Сколько решений в зависимости от значения параметра $$a$$ имеет система уравнений:

1. $$\begin{cases} x^2+y^2=a, \\ |y|=1; \end{cases}$$
2. $$\begin{cases} x^2+y^2=9, \\ y=a-|x|; \end{cases}$$
3. $$\begin{cases} |x|+|y|=1, \\ x^2+y^2=a. \end{cases}$$

1. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x^2+y^2=a,\\ |y|=1. \end{cases}$$

   Из уравнения $$|y|=1$$ получаем $$y=1$$ или $$y=-1$$. Тогда

   $$x^2+1=a,$$

   то есть

   $$x^2=a-1.$$

   Число решений зависит от знака выражения $$a-1$$:

   • если $$a<1,$$ решений нет;
   • если $$a=1,$$ то $$x=0$$, получаем 2 решения;
   • если $$a>1,$$ то для каждого из двух значений $$y$$ есть по 2 значения $$x$$, всего 4 решения.

2. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} x^2+y^2=9,\\ y=a-|x|. \end{cases}$$

   Так как графики симметричны относительно оси $$Oy$$, достаточно рассмотреть случай $$x\ge 0$$, тогда $$|x|=x$$ и

   $$y=a-x.$$

   Подставим в уравнение окружности:

   $$x^2+(a-x)^2=9.$$

   Получаем квадратное уравнение

   $$2x^2-2ax+(a^2-9)=0.$$

   Его дискриминант:

   $$D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-9)=4(18-a^2).$$

   Чтобы были точки пересечения, нужно $$D\ge 0$$, то есть $$|a|\le 3\sqrt2$$. При этом число решений меняется в зависимости от положения прямой:

   • если $$a<-3$$ или $$a>3\sqrt2,$$ решений нет;
   • если $$a=-3,$$ одно решение;
   • если $$-3<a<3$$ или $$a=3\sqrt2,$$ два решения;
   • если $$a=3,$$ три решения;
   • если $$3<a<3\sqrt2,$$ четыре решения.

3. Рассмотрим систему

   $$\begin{cases} |x|+|y|=1,\\ x^2+y^2=a. \end{cases}$$

   Из первого уравнения

   $$|y|=1-|x|.$$

   Достаточно рассмотреть случай $$x\ge 0$$, тогда $$|x|=x$$ и $$|y|=1-x$$, то есть

   $$y=1-x \quad \text{или} \quad y=x-1.$$

   Подставим в уравнение окружности:

   $$x^2+(1-x)^2=a.$$

   Получаем

   $$2x^2-2x+(1-a)=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot (1-a)=8a-4=4(2a-1).$$

   Отсюда $$a\ge \frac12$$. По числу точек пересечения:

   • если $$a<\frac12$$ или $$a>1,$$ решений нет;
   • если $$a=\frac12$$ или $$a=1,$$ четыре решения;
   • если $$\frac12<a<1,$$ восемь решений.

Ответ

1) $$a<1$$ — решений нет; $$a=1$$ — 2 решения; $$a>1$$ — 4 решения.

2) $$a<-3$$ или $$a>3\sqrt2$$ — решений нет; $$a=-3$$ — 1 решение; $$-3<a<3$$ или $$a=3\sqrt2$$ — 2 решения; $$a=3$$ — 3 решения; $$3<a<3\sqrt2$$ — 4 решения.

3) $$a<\frac12$$ или $$a>1$$ — решений нет; $$a=\frac12$$ или $$a=1$$ — 4 решения; $$\frac12<a<1$$ — 8 решений.