Упр.11.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) {(y=|x|, x^2+y=a);
2) {(|x|+|y|=a, x^2+y^2=1);
3) {(x^2+y^2=4, y=x^2+a)?

1. $$\begin{cases} y=|x|, \\ x^2+y=a. \end{cases}$$

   Подставим $$y=|x|$$ во второе уравнение:

   $$x^2+|x|=a.$$

   Положим $$t=|x| \ge 0$$. Тогда $$x^2=t^2$$, и получаем

   $$t^2+t=a.$$

   Рассмотрим число решений в зависимости от $$a$$. Функция $$t^2+t$$ при $$t \ge 0$$ принимает значения от $$0$$ и выше, причём:

   • при $$a<0$$ решений нет;
   • при $$a=0$$ одно решение $$t=0$$;
   • при $$a>0$$ уравнение $$t^2+t=a$$ имеет одно или два неотрицательных корня, что даёт соответственно одно или два решения системы.

   Так как каждому положительному $$t$$ соответствуют два значения $$x=\pm t$$, а при $$t=0$$ — одно значение $$x=0$$, получаем:

   если $$a<0$$, то решений нет;

   если $$a=0$$, то одно решение;

   если $$a>0$$, то два решения.

2. $$\begin{cases} |x|+|y|=a, \\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$

   Из симметрии достаточно рассмотреть случай $$x \ge 0,\ y \ge 0$$. Тогда система принимает вид

   $$\begin{cases} x+y=a, \\ x^2+y^2=1. \end{cases}$$

   Подставим $$y=a-x$$:

   $$x^2+(a-x)^2=1,$$

   $$2x^2-2ax+(a^2-1)=0.$$

   Для касания графиков дискриминант должен быть равен нулю:

   $$D=(-2a)^2-4\cdot 2\cdot (a^2-1)=8-4a^2=4(2-a^2).$$

   Отсюда

   $$2-a^2=0,\qquad a^2=2,\qquad a=\sqrt2.$$

   С учётом симметрии получаем:

   если $$a<1$$ или $$a>\sqrt2$$, то решений нет;

   если $$a=1$$ или $$a=\sqrt2$$, то четыре решения;

   если $$1<a<\sqrt2$$, то восемь решений.

3. $$\begin{cases} x^2+y^2=4, \\ y=x^2+a. \end{cases}$$

   Подставим $$y=x^2+a$$ в уравнение окружности:

   $$x^2+(x^2+a)^2=4.$$

   Обозначим $$t=x^2 \ge 0$$. Тогда

   $$t+(t+a)^2=4,$$

   $$t^2+(2a+1)t+(a^2-4)=0.$$

   Число решений системы зависит от числа неотрицательных корней этого уравнения и от того, равны ли они нулю. Удобнее рассмотреть касание параболы и окружности по графикам:

   • при $$a<-2$$ и при $$a>2$$ пересечений нет;
   • при $$a=2$$ графики касаются, получается одно решение;
   • при $$-\dfrac{17}{4}<a<-2$$ — четыре решения;
   • при $$a=-2$$ — три решения;
   • при $$a=-\dfrac{17}{4}$$ — четыре решения;
   • при $$-\dfrac{17}{4}<a<2$$ — два решения.

   Итак:

   если $$a<-\dfrac{17}{4}$$ или $$a>2$$, то решений нет;

   если $$a=2$$, то одно решение;

   если $$a=-2$$, то три решения;

   если $$a=-\dfrac{17}{4}$$, то четыре решения;

   если $$-\dfrac{17}{4}<a<-2$$, то четыре решения;

   если $$-2<a<2$$, то два решения.

Ответ

1) $$a<0$$ — решений нет; $$a=0$$ — одно решение; $$a>0$$ — два решения.
2) $$a<1$$ или $$a>\sqrt2$$ — решений нет; $$a=1$$ или $$a=\sqrt2$$ — четыре решения; $$1<a<\sqrt2$$ — восемь решений.
3) $$a<-\dfrac{17}{4}$$ или $$a>2$$ — решений нет; $$a=2$$ — одно решение; $$a=-2$$ — три решения; $$a=-\dfrac{17}{4}$$ — четыре решения; $$-\dfrac{17}{4}<a<-2$$ — четыре решения; $$-2<a<2$$ — два решения.