Упр.11.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения $$\sqrt{23-8\sqrt{7}}+\sqrt{23+8\sqrt{7}}$$ является целым числом.

Обозначим

$$x=\sqrt{23-8\sqrt7}+\sqrt{23+8\sqrt7}.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x^2=(23-8\sqrt7)+2\sqrt{(23-8\sqrt7)(23+8\sqrt7)}+(23+8\sqrt7).$$

Сложим первые и последние слагаемые и вычислим произведение под корнем:

$$x^2=46+2\sqrt{23^2-(8\sqrt7)^2}=46+2\sqrt{529-64\cdot 7}.$$

$$x^2=46+2\sqrt{529-448}=46+2\sqrt{81}=46+2\cdot 9=64.$$

Так как выражение под корнями неотрицательно, то $$x>0$$, значит

$$x=\sqrt{64}=8.$$

Следовательно, значение выражения является целым числом.

Ответ

$$8$$