Упр.11.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Найдите все значения параметров $$a$$ и $$b$$, при которых совпадают множества решений систем уравнений
$$\begin{cases} ax+2y=b+1,\\ x+y=3 \end{cases}$$
и
$$\begin{cases} 2x+y=a^2+2,\\ x+3y=3. \end{cases}$$

Подробный ответ

Рассмотрим вторую систему:

$$\begin{cases} 2x+y=a^2+2,\\ x+3y=3. \end{cases}$$
Её определитель равен $$\Delta=2\cdot 3-1\cdot 1=5\neq 0,$$ значит, система имеет единственное решение.

Рассмотрим первую систему:

$$\begin{cases} ax+2y=b+1,\\ x+y=3. \end{cases}$$
Чтобы множества решений двух систем совпадали, первая система тоже должна иметь единственное решение, а её решение должно совпадать с решением второй системы.

Найдём решение второй системы. Из второго уравнения:

$$x=3-3y.$$
Подставим в первое:

$$2(3-3y)+y=a^2+2$$
$$6-6y+y=a^2+2$$
$$6-5y=a^2+2.$$

Но удобнее сначала найти точку пересечения из системы в общем виде. Из второго уравнения первой системы и второго уравнения второй системы получаем, что общая точка должна удовлетворять обоим уравнениям. Подставим в систему:

$$\begin{cases} x+y=3,\\ x+3y=3. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:

$$2y=0,\quad y=0.$$
Тогда

$$x=3.$$

Значит, общая точка — $$(3,0)$$. Подставим её во вторую систему:

$$2\cdot 3+0=a^2+2$$
$$6=a^2+2$$
$$a^2=4$$
$$a=\pm 2.$$

Теперь подставим точку $$(3,0)$$ в первую систему:

$$a\cdot 3+2\cdot 0=b+1$$
$$3a=b+1$$
$$b=3a-1.$$

При $$a=2$$ получаем $$b=5$$, а при $$a=-2$$ получаем $$b=-7$$.

Проверим условие совпадения множеств решений. Для первой системы определитель:

$$\Delta_1=a\cdot 1-2\cdot 1=a-2.$$
Чтобы система имела единственное решение, нужно $$a\neq 2$$. Поэтому значение $$a=2$$ не подходит.

Остаётся:

$$a=-2,\quad b=-7.$$