Упр.11.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.19. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения 7^n·2^(3n)-3^(2n) кратно 47.

Преобразуем выражение:

$$7^n \cdot 2^{3n} — 3^{2n} = 7^n \cdot 8^n — 9^n = 56^n — 9^n.$$

Теперь применим формулу разности степеней:

$$a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots+ab^{n-2}+b^{n-1}).$$

Тогда

$$56^n-9^n=(56-9)(56^{n-1}+56^{n-2}\cdot 9+\dots+56\cdot 9^{n-2}+9^{n-1}).$$

Получаем

$$56^n-9^n=47(56^{n-1}+56^{n-2}\cdot 9+\dots+56\cdot 9^{n-2}+9^{n-1}).$$

Следовательно, выражение делится на $$47$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$7^n \cdot 2^{3n} — 3^{2n}$$ кратно $$47$$ при любом натуральном $$n$$.