Упр.11.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.18. Докажите, что точки пересечения парабол y=x^2-5 и x=y^2-4 лежат на одной окружности.

Точки пересечения парабол являются решениями системы

$$ \begin{cases} y=x^2-5,\\ x=y^2-4. \end{cases} $$

Перепишем уравнения в виде

$$ x^2-y-5=0,\qquad y^2-x-4=0. $$

Сложим эти уравнения:

$$ (x^2-y-5)+(y^2-x-4)=0, $$

откуда

$$ x^2-x+y^2-y=9. $$

Дополнем до квадратов:

$$ x^2-x+\frac14+y^2-y+\frac14=9+\frac12, $$

$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac{19}{2}. $$

Это уравнение окружности. Значит, все точки пересечения данных парабол лежат на одной окружности.

Ответ

Точки пересечения лежат на окружности $$\left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac{19}{2}.$$