Упр.11.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что точки пересечения парабол $$y=x^2-5$$ и $$x=y^2-4$$ лежат на одной окружности.

Точки пересечения парабол являются решениями системы

$$\begin{cases} y=x^2-5,\\ x=y^2-4. \end{cases}$$

Перепишем уравнения в виде

$$x^2-y-5=0,\qquad y^2-x-4=0.$$

Сложим эти уравнения:

$$(x^2-y-5)+(y^2-x-4)=0,$$

откуда

$$x^2-x+y^2-y=9.$$

Дополнем до квадратов:

$$x^2-x+\frac14+y^2-y+\frac14=9+\frac12,$$

$$\left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac{19}{2}.$$

Это уравнение окружности. Значит, все точки пересечения данных парабол лежат на одной окружности.

Ответ

Точки пересечения лежат на окружности $$\left(x-\frac12\right)^2+\left(y-\frac12\right)^2=\frac{19}{2}.$$