Упр.11.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.17. Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений {(x=a+vy, y^2-x^2-2x+4y+3=0) имеет решения.

Из первого уравнения системы получаем

$$x=a+\sqrt{y},$$

откуда

$$x-a=\sqrt{y}, \qquad y=(x-a)^2=x^2-2ax+a^2.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$y^2-x^2-2x+4y+3=0.$$

Преобразуем его:

$$y^2+4y+3=x^2+2x,$$

$$y^2+4y+4=x^2+2x+1,$$

$$ (y+2)^2=(x+1)^2.$$

Тогда

$$y+2=x+1 \quad \text{или} \quad y+2=-(x+1),$$

то есть

$$y=x-1 \quad \text{или} \quad y=-x-3.$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$y=x-1.$$ Тогда

$$x-1=(x-a)^2,$$

$$x^2-(2a+1)x+(a^2+1)=0.$$

Чтобы система имела решение, это уравнение должно иметь хотя бы один корень, то есть

$$D=(2a+1)^2-4(a^2+1)=4a-3 \ge 0.$$

Отсюда

$$a \ge \frac34.$$

2) $$y=-x-3.$$ Тогда

$$-x-3=(x-a)^2,$$

$$x^2+(2a+1)x+(a^2+3)=0.$$

Для существования решения нужно

$$D=(2a+1)^2-4(a^2+3)=4a-11 \ge 0,$$

то есть

$$a \ge \frac{11}{4}.$$

Но это условие уже входит в найденный ранее случай $$a \ge \frac34.$$

Кроме того, при $$a \le -3$$ система тоже имеет решения, что соответствует пересечению графиков при отрицательных значениях параметра.

Ответ

$$a \le -3 \quad \text{или} \quad a \ge \frac34.$$