Упр.11.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.16. Найдите наименьшее значение параметра c, при котором система уравнений {((x+cv3)^2+y^2+6y+8=0, v3|x|+y=6) имеет единственное решение.

Первое уравнение преобразуем к виду окружности:

$$ (x+c\sqrt{3})^2+y^2+6y+8=0 $$

$$ (x+c\sqrt{3})^2+(y^2+6y+9)=1 $$

$$ (x+c\sqrt{3})^2+(y+3)^2=1. $$

Значит, это окружность с центром $$(-c\sqrt{3},-3)$$ и радиусом $$1$$.

Второе уравнение задаёт ломаную:

$$ y=6-\sqrt{3}|x|. $$

Для единственного решения система должна иметь одну общую точку. Рассмотрим случай $$x\le 0$$, тогда $$|x|=-x$$ и

$$ y=6+\sqrt{3}x. $$

Подставим в уравнение окружности:

$$ (x+c\sqrt{3})^2+(6+\sqrt{3}x+3)^2=1 $$

$$ (x+c\sqrt{3})^2+(\sqrt{3}x+9)^2=1. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2+2cx\sqrt{3}+3c^2+3x^2+18x\sqrt{3}+81=1 $$

$$ 4x^2+2\sqrt{3}(c+9)x+(3c^2+80)=0. $$

Чтобы была одна точка пересечения, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$ D=\bigl(2\sqrt{3}(c+9)\bigr)^2-4\cdot 4\cdot(3c^2+80)=0. $$

$$ 12(c+9)^2-16(3c^2+80)=0 $$

$$ 12(c^2+18c+81)-48c^2-1280=0 $$

$$ -36c^2+216c-308=0 $$

$$ 9c^2-54c+77=0. $$

Найдём корни:

$$ D=54^2-4\cdot 9\cdot 77=2916-2772=144, $$

$$ c=\frac{54\pm 12}{18}. $$

Получаем:

$$ c_1=\frac{42}{18}=\frac{7}{3}, \qquad c_2=\frac{66}{18}=\frac{11}{3}. $$

Наименьшее значение параметра:

Ответ

$$\frac{7}{3}$$