Упр.11.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее значение параметра $$c$$, при котором система уравнений

$$\begin{cases}(x+c\sqrt{3})^2+y^2+6y+8=0,\\ \sqrt{3}|x|+y=6\end{cases}$$

имеет единственное решение.

Первое уравнение преобразуем к виду окружности:

$$(x+c\sqrt{3})^2+y^2+6y+8=0$$

$$(x+c\sqrt{3})^2+(y^2+6y+9)=1$$

$$(x+c\sqrt{3})^2+(y+3)^2=1.$$

Значит, это окружность с центром $$(-c\sqrt{3},-3)$$ и радиусом $$1$$.

Второе уравнение задаёт ломаную:

$$y=6-\sqrt{3}|x|.$$

Для единственного решения система должна иметь одну общую точку. Рассмотрим случай $$x\le 0$$, тогда $$|x|=-x$$ и

$$y=6+\sqrt{3}x.$$

Подставим в уравнение окружности:

$$(x+c\sqrt{3})^2+(6+\sqrt{3}x+3)^2=1$$

$$(x+c\sqrt{3})^2+(\sqrt{3}x+9)^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2+2cx\sqrt{3}+3c^2+3x^2+18x\sqrt{3}+81=1$$

$$4x^2+2\sqrt{3}(c+9)x+(3c^2+80)=0.$$

Чтобы была одна точка пересечения, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=\bigl(2\sqrt{3}(c+9)\bigr)^2-4\cdot 4\cdot(3c^2+80)=0.$$

$$12(c+9)^2-16(3c^2+80)=0$$

$$12(c^2+18c+81)-48c^2-1280=0$$

$$-36c^2+216c-308=0$$

$$9c^2-54c+77=0.$$

Найдём корни:

$$D=54^2-4\cdot 9\cdot 77=2916-2772=144,$$

$$c=\frac{54\pm 12}{18}.$$

Получаем:

$$c_1=\frac{42}{18}=\frac{7}{3}, \qquad c_2=\frac{66}{18}=\frac{11}{3}.$$

Наименьшее значение параметра:

Ответ

$$\frac{7}{3}$$