Упр.11.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.15. Найдите наименьшее значение параметра c, при котором система уравнений {((x-cv3)^2+y^2-2y=0, v3|x|-y=4) имеет единственное решение.

Первое уравнение задаёт окружность:

$$ (x-c\sqrt{3})^2+y^2-2y=0 $$

$$ (x-c\sqrt{3})^2+(y-1)^2=1. $$

Второе уравнение задаёт ломаную:

$$ \sqrt{3}|x|-y=4,\qquad y=\sqrt{3}|x|-4. $$

Рассмотрим левую ветвь ломаной при $$x\le 0$$:

$$ y=-\sqrt{3}x-4. $$

Подставим в уравнение окружности:

$$ (x-c\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3}x-5)^2=1. $$

Раскроем скобки:

$$ x^2-2cx\sqrt{3}+3c^2+3x^2+10\sqrt{3}x+25=1, $$

$$ 4x^2+2\sqrt{3}(5-c)x+3(c^2+8)=0. $$

Чтобы система имела единственное решение, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть

$$ D=0. $$

Найдём дискриминант:

$$ D=\bigl(2\sqrt{3}(5-c)\bigr)^2-4\cdot 4\cdot 3(c^2+8). $$

$$ D=12(5-c)^2-48(c^2+8). $$

$$ D=12(25-10c+c^2-4c^2-32)=-12(3c^2+10c+7). $$

Следовательно,

$$ 3c^2+10c+7=0. $$

Решим уравнение:

$$ D_1=10^2-4\cdot 3\cdot 7=100-84=16, $$

$$ c=\frac{-10\pm 4}{2\cdot 3}. $$

$$ c_1=-\frac{7}{3},\qquad c_2=-1. $$

Наименьшее значение параметра:

$$ c=-\frac{7}{3}. $$

Ответ

$$ -\frac{7}{3} $$