Упр.11.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее значение параметра $$c$$, при котором система уравнений $$\begin{cases}(x-c\sqrt{3})^2+y^2-2y=0,\\\sqrt{3}|x|-y=4\end{cases}$$ имеет единственное решение.

Первое уравнение задаёт окружность:

$$(x-c\sqrt{3})^2+y^2-2y=0$$

$$(x-c\sqrt{3})^2+(y-1)^2=1.$$

Второе уравнение задаёт ломаную:

$$\sqrt{3}|x|-y=4,\qquad y=\sqrt{3}|x|-4.$$

Рассмотрим левую ветвь ломаной при $$x\le 0$$:

$$y=-\sqrt{3}x-4.$$

Подставим в уравнение окружности:

$$(x-c\sqrt{3})^2+(-\sqrt{3}x-5)^2=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2cx\sqrt{3}+3c^2+3x^2+10\sqrt{3}x+25=1,$$

$$4x^2+2\sqrt{3}(5-c)x+3(c^2+8)=0.$$

Чтобы система имела единственное решение, это квадратное уравнение должно иметь единственный корень, то есть

$$D=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=\bigl(2\sqrt{3}(5-c)\bigr)^2-4\cdot 4\cdot 3(c^2+8).$$

$$D=12(5-c)^2-48(c^2+8).$$

$$D=12(25-10c+c^2-4c^2-32)=-12(3c^2+10c+7).$$

Следовательно,

$$3c^2+10c+7=0.$$

Решим уравнение:

$$D_1=10^2-4\cdot 3\cdot 7=100-84=16,$$

$$c=\frac{-10\pm 4}{2\cdot 3}.$$

$$c_1=-\frac{7}{3},\qquad c_2=-1.$$

Наименьшее значение параметра:

$$c=-\frac{7}{3}.$$

Ответ

$$-\frac{7}{3}$$