Упр.11.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Определите, при каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\begin{cases}(y-x)^2=4,\\x^2+y^2=3-a\end{cases}$$ имеет ровно два решения.

Из первого уравнения системы получаем:

$$(y-x)^2=4$$

$$y^2-2xy+x^2=4.$$

Так как из второго уравнения $$x^2+y^2=3-a,$$ то

$$(3-a)-2xy=4,$$

$$2xy=-1-a,$$

$$y=\frac{-1-a}{2x}.$$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$x^2+\left(\frac{-1-a}{2x}\right)^2=3-a.$$

Умножим на $$4x^2$$:

$$4x^4-4(3-a)x^2+(a+1)^2=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $$x^2$$. Чтобы система имела ровно два решения, уравнение должно иметь единственное значение $$x^2$$, то есть его дискриминант равен нулю:

$$D=16(3-a)^2-16(a+1)^2.$$

$$D=16\bigl((9-6a+a^2)-(a^2+2a+1)\bigr).$$

$$D=16(8-8a)=128(1-a).$$

Приравниваем дискриминант к нулю:

$$128(1-a)=0,$$

$$a=1.$$

Ответ

$$a=1$$