Упр.11.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 11.14. Определите, при каких значениях параметра a система уравнений {((y-x)^2=4, x^2+y^2=3-a) имеет ровно два решения.

Из первого уравнения системы получаем:

$$ (y-x)^2=4 $$

$$ y^2-2xy+x^2=4. $$

Так как из второго уравнения $$x^2+y^2=3-a,$$ то

$$ (3-a)-2xy=4, $$

$$ 2xy=-1-a, $$

$$ y=\frac{-1-a}{2x}. $$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$$ x^2+\left(\frac{-1-a}{2x}\right)^2=3-a. $$

Умножим на $$4x^2$$:

$$ 4x^4-4(3-a)x^2+(a+1)^2=0. $$

Это квадратное уравнение относительно $$x^2$$. Чтобы система имела ровно два решения, уравнение должно иметь единственное значение $$x^2$$, то есть его дискриминант равен нулю:

$$ D=16(3-a)^2-16(a+1)^2. $$

$$ D=16\bigl((9-6a+a^2)-(a^2+2a+1)\bigr). $$

$$ D=16(8-8a)=128(1-a). $$

Приравниваем дискриминант к нулю:

$$ 128(1-a)=0, $$

$$ a=1. $$

Ответ

$$ a=1 $$